Sommation de Mittag-Leffler

Soit

${\displaystyle y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }y_{k}z^{-k}}$

une série formelle de la variable z.

On définit la transformée ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\alpha }}$ de y par[2] :

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\alpha }y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y_{k}}{\Gamma (1+\alpha k)}}t^{k}.}$

La somme de Mittag-Leffler de y est donnée, si chaque somme converge et que la limite existe, par :

${\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow 0}{\mathcal {B}}_{\alpha }y(z).}$

Une méthode de sommation étroitement liée, aussi appelé sommation de Mittag-Leffler, est donnée comme suit[3] : supposons que, au voisinage de 0, la transformée de Borel converge vers une fonction analytique qui peut être analytiquement prolongée le long de l'axe réel positif en une fonction à croissance suffisamment lente afin que l'intégrale suivante soit bien définie (il s'agit d'une intégrale impropre). La somme de Mittag-Leffler de y est donnée par

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\rm {e}}^{-t}{\mathcal {B}}_{\alpha }y(t^{\alpha }z)\,{\rm {d}}t.}$

Lorsque α = 1, on retrouve la sommation de Borel.

Fonction de Mittag-Leffler