Série alternée des factorielles

En mathématiques, et plus précisément en analyse, la série alternée des factorielles est la série divergente 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ , en notations modernes :

\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!

Leonhard Euler est le premier à avoir considéré cette série, qu'il étudia par des méthodes de sommation formelle, ainsi qu'en lui associant une équation différentielle[1] ; cela lui permit de lui attribuer une valeur finie. Il est plus simple pour la sommer d'utiliser la sommation de Borel :

\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k}\exp(-x)\,{\rm {d}}x

(formellement, puisque les deux séries divergent).

Échangeant somme et intégrale, on obtient :

\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right]\exp(-x)\,{\rm {d}}x.

La somme entre crochets converge vers 1/(1 + x) si x < 1. La remplaçant alors par 1/(1 + x) même pour les valeurs de x supérieures à 1, on obtient une intégrale convergente, ce qui autorise à écrire (au sens de Borel) :

\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x)}{1+x}}\,{\rm {d}}x=-{\rm {e}}\cdot \mathrm {Ei} (-1)\approx 0{,}596347362323194074341078499369\ldots

où $e$ est la base des logarithmes népériens, et où $Ei(z)$ est l'exponentielle intégrale.

Calcul par une équation différentielle

Considérons le système d'équations différentielles

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}(t)=x(t)-y(t),\qquad {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}(t)=-y(t)^{2}.$

La solution stable vérifiant $(x, y) = (0, 0)$ pour $t \to \infty$ est donnée par $y (t) = 1/ t$ . En introduisant ce résultat dans l'équation en $x$ puis en cherchant une solution sous forme de série formelle, on trouve :

$x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {(n-1)!}{t^{n}}}.$

La valeur $x (1)$ est précisément celle qu'on veut calculer. D'un autre côté, on peut calculer la solution exacte :

$x(t)={\rm {e}}^{t}\int _{t}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-u}}{u}}\mathrm {d} u.$

Par intégrations par parties successives, on retrouve la série entière comme développement asymptotique de cette expression pour $x (t)$ . Euler utilise cette égalité pour affirmer :

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n-1)!={\rm {e}}\int _{1}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-u}}{u}}\mathrm {d} u,$ ce qui est bien la valeur obtenue par sommation de Borel.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · · » (voir la liste des auteurs).

(la) L. Euler, « De seriebus divergentibus », Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, t. 5,‎ 1760, p. 205-237 (arXiv 1202.1506, résumé, lire en ligne [PDF]).

Série alternée des factorielles

Calcul par une équation différentielle

Notes et références

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