Exponentielle intégrale

La fonction Ei est liée à la fonction li (logarithme intégral) par :

${\displaystyle {\rm {Ei}}(x)=\operatorname {li} \left(\mathrm {e} ^{x}\right).}$

Représentation graphique des fonctions E₁ (en haut) et Ei (en bas), pour x > 0.

L'exponentielle intégrale a pour développement en série :

${\displaystyle {\mbox{Ei}}(x)=\gamma +\ln |x|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\cdot k!}},}$

où γ est la constante d'Euler-Mascheroni.

L'exponentielle intégrale est reliée à une autre fonction, notée E₁ définie, pour x > 0, par :

${\displaystyle {\rm {E}}_{1}(x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t=-\int _{-\infty }^{-x}{\frac {{\rm {e}}^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.}$

On dispose alors de la relation, pour x > 0 :

${\displaystyle {\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x).}$

Les deux fonctions s'expriment en fonction de la fonction entière définie par :

${\displaystyle {\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}(1-{\rm {e}}^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}.}$

En effet, on peut montrer que, pour x > 0 :

${\displaystyle {\rm {E}}_{1}(x)=-\gamma -\ln(x)+{\rm {Ein}}(x)}$

et

${\displaystyle {\rm {Ei}}(-x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ein}}(x).}$

La relation donnée pour E₁ permet d'étendre cette fonction sur tout ouvert simplement connexe du plan complexe ne contenant pas 0, en prenant une détermination du logarithme sur ce plan. On prend généralement comme ouvert le plan complexe privé des réels strictement négatifs.

Plus généralement, on définit, pour tout entier n strictement positif, la fonction E_n par :

${\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-xt}}{t^{n}}}\,\mathrm {d} t={\frac {{\rm {e}}^{-x}}{x}}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-t}}{\left(1+{\frac {t}{x}}\right)^{n}}}\,\mathrm {d} t={\rm {e}}^{-x}\int _{0}^{\infty }{\frac {{\rm {e}}^{-xt}}{(1+t)^{n}}}\,\mathrm {d} t}$

Ces fonctions sont reliées par la relation :

${\displaystyle \mathrm {E} _{n}(x)={\frac {{\rm {e}}^{-x}}{x}}-{\frac {n}{x}}\mathrm {E} _{n+1}(x)}$

La fonction E₁ ne possède pas d’expression à l’aide des fonctions élémentaires usuelles, d’après un théorème dû à Liouville. Différentes méthodes peuvent être utilisées afin de calculer E₁(x) en double précision.

Pour x > 40

Erreur relative de l'approximation asymtotique pour diverses valeurs du nombre N de termes de la somme partielle : N = 1 (rouge), 2 (vert), 3 (jaune), 4 (bleu) et 5 (rose)

Il existe une série divergente permettant d'approcher E₁ pour les grandes valeurs de Re(z), obtenue par intégration par parties[1], qui donne le développement asymptotique suivant :

${\displaystyle \mathrm {E_{1}} (z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}+{\frac {N!}{(-z)^{N}}}\mathrm {E} _{N+1}(z)}$

avec ${\displaystyle \mathrm {E} _{N+1}(z)=o({\rm {e}}^{-z})}$ quand z tend vers ${\displaystyle +\infty }$.

Afin d'avoir une précision de 64 bit (double précision), il faut utiliser la valeur N = 40.

(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 228-230

• Cosinus intégral
• Sinus intégral
• Fonction gamma incomplète
• Fonction de Bickley-Naylor