Cosinus intégral

La fonction cosinus intégral, notée $Ci$ est définie par l'intégrale : $\forall x>0,\ \mathrm {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t}}\mathrm {d} t$ où la fonction $cos$ est la fonction cosinus.

Tracé de

Ci(x)

pour

0\leqslant x\leqslant 25

Propriétés

La fonction est continue, infiniment dérivable sur $\mathbb {R} ^{+*}$ , et $\forall x\in \mathbb {R} ^{+*},\ \mathrm {Ci} '(x)={\frac {\cos(x)}{x}}$
$\lim _{x\to +\infty }\mathrm {Ci} (x)=0$
$\lim _{x\to 0}\mathrm {Ci} (x)=-\infty$
La fonction Ci admet le développement suivant sur $\mathbb {R} ^{+*}$ : $\forall x\in \mathbb {R} ^{+*},\ \mathrm {Ci} (x)=\gamma +\ln(x)+\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!(2n)}}$ où $γ$ est la constante d'Euler-Mascheroni. Ce développement permet d'étendre la fonction $Ci$ en une fonction analytique définie sur tout le plan complexe privé de la demi-droite des réels négatifs. La somme de la série vaut également $\int _{0}^{x}{\frac {\cos(t)-1}{t}}\mathrm {d} t$ .
Les primitives de $Ci$ sont de la forme

\int {\rm {Ci}}(x){\rm {d}}x=x{\rm {Ci}}(x)-\sin(x)+k,k\in \mathbb {R}

Voir aussi

Bibliographie

Abramowitz et Stegun, Handbook of Mathematical Functions.

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