Antilimite

Dans son article de 1955, Daniel Shanks s'intéresse aux transformations de suites de la forme

${\displaystyle s_{n}=s+\sum _{i=0}^{k}c_{i}g_{i}(n),\ \forall n\in \mathbb {N} .}$

avec s, c₀, ..., c_k, des constantes et g₀, ..., g_k, des fonctions. Dans le cas où (s_n) ne converge pas, Shanks désigne s comme l'antilimite de la suite et dit que « (s_n) diverge de s »[1].

Par prolongement analytique

On se place dans le cas où la suite (s_n) est une série divergente :

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\longrightarrow +\infty }$

On considère la série génératrice liée :

${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}$

Si cette série de fonctions converge sur un disque de convergence de rayon 0 < ρ ≤ 1, il existe une fonction S telle :

${\displaystyle \forall x\in [0,\rho [,\,\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}=S(x).}$

Cette fonction S peut être définie hors du disque de convergence, notamment en x = 1 et y avoir une valeur finie. Cette valeur s = S(1) est alors appelée antilimite de la série ∑a_n.

• Une série divergente peut se voir associer des valeurs finies par des procédés de sommation, comme la série de Grandi

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}={\frac {1}{2}}}$

ou la série alternée des entiers

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1}n={\frac {1}{4}}}$

• La suite de sommes partielles

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(-2)^{k-1}}{k}}}$

est grossièrement divergente, cependant, on peut reconnaitre le développement en série entière du logarithme naturel :

${\displaystyle -{\frac {1}{x}}\ln(1-x)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {x^{n-1}}{n}}}$

pris en x = -2, qui est hors du disque de convergence (le rayon de convergence de cette série vaut 1). Ainsi, 1/2ln(3) est l'antilimite de la série :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-2)^{n-1}}{n}}={\frac {1}{2}}\ln(3).}$

• Vitesse de convergence des suites
• Prolongement analytique