Nombre harmonique

Valeur de n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Valeur de Hn[1]	0[2]	1	${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {11}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {25}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {137}{60}}}$	${\displaystyle {\frac {49}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {363}{140}}}$	${\displaystyle {\frac {761}{280}}}$	${\displaystyle {\frac {7129}{2520}}}$	${\displaystyle {\frac {7381}{2520}}}$
Valeur approchée de Hn	0	1	1,5	1,8	2,1	2,3	2,5	2,6	2,7	2,8	2,9

Les numérateurs et dénominateurs de ces rationnels forment, à partir de n = 1, les suites d'entiers  A001008 et  A002805 de l'OEIS.

La sous-suite des numérateurs premiers est 3, 11, 137, 761, 7 129, … ( A067657) et les indices correspondants sont 2, 3, 5, 8, 9, … ( A056903).

Les nombres harmoniques ${\displaystyle H_{n}}$ en rouge et leur limite asymptotique ${\displaystyle \gamma +\ln(x)}$ en bleu.

La suite des nombres harmoniques croît lentement.

La série harmonique diverge ; sa somme est +∞. On a le développement asymptotique suivant :

${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{4}}}\right),}$

où ${\displaystyle \gamma }$ est la constante d'Euler-Mascheroni ; plus généralement, la formule d'Euler-Maclaurin donne :

${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}+O\left({\frac {1}{n^{2p+2}}}\right),}$

où les ${\displaystyle B_{2k}}$ sont les nombres de Bernoulli.

${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{\begin{matrix}n+1\\2\end{matrix}}\right]}$, où ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n+1\\2\end{matrix}}\right]}$ est un nombre de Stirling de première espèce.

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}}$[3].

Le dénominateur de H_n (pour n ≥ 1) est divisible par[4] ${\displaystyle 2^{\lfloor \log _{2}n\rfloor }}$ donc (en omettant H₀ = 0) le seul nombre harmonique entier est H₁ = 1. D'après le théorème de Kürschák, H₁ est même la seule somme d'inverses d'entiers naturels consécutifs qui soit entière.

Le postulat de Bertrand permet de démontrer[5] que les deux seuls autres nombres harmoniques décimaux sont H₂ = 1,5 et H₆ = 2,45.

Pour tout nombre premier p ≥ 5, le numérateur de H_p–1 est divisible par p² : voir « Théorème de Wolstenholme ».

Euler a donné la représentation intégrale suivante[6] :

${\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,\mathrm {d} x}$,

en utilisant l'identité

${\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}}$,

ce qui fournit un prolongement méromorphe ${\displaystyle z\mapsto H_{z}}$. En fait,

${\displaystyle H_{z}=\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+z}}\right)=\psi (z+1)+\gamma }$,

où ψ est la fonction digamma.

On définit le n-ième nombre harmonique généralisé H_n,r d'exposant r comme la n-ième somme partielle de la série de Riemann d'exposant r :

${\displaystyle H_{n,r}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{r}}}}$.

Pour tout réel r > 1, cette suite converge vers la valeur en r de la fonction zêta de Riemann :

${\displaystyle \forall r>1\quad \lim _{n\to \infty }H_{n,r}=\zeta (r)}$.

D'autres notations existent, comme H^(r)
_n, prêtant à confusion avec les nombres hyperharmoniques (en)[7].

Les numérateurs des nombres harmoniques généralisés d'exposant 2 sont appelés les nombres de Wolstenholme.

Les nombres harmoniques apparaissent naturellement dans plusieurs problèmes de mathématiques récréatives, comme le problème d'empilage de blocs, le problème de la traversée du désert et le problème de la fourmi sur un élastique, ainsi que dans le problème du collectionneur de vignettes en théorie des probabilités.