Lemme de Cousin

La propriété de la borne supérieure, qui a permis de démontrer le lemme de Cousin pour ℝ, lui est en fait équivalente (pour tout corps totalement ordonné K)[8].

En effet, si A est une partie de K sans borne supérieure, contenant un élément a et majorée par un élément b, montrons que le lemme de Cousin n'est pas satisfait pour la jauge suivante sur [a, b] :

• si t ne majore pas A, il existe c dans A tel que t < c. On prend alors δ(t) dans ]0, c – t[.
• si t est un majorant de A, il existe un majorant c de A tel que c < t (puisque par hypothèse, t n'est pas une borne supérieure de A). On pose alors δ(t) = t – c.

Si [a, b] possédait une subdivision marquée ((x_i), (t_i)) δ-fine, on aurait :

• si t_i ne majore pas A alors x_i non plus (car x_i – t_i ≤ x_i – x_i–1 ≤ δ(t_i) < c – t_i pour un certain c dans A), donc si x_i majore A alors t_i aussi ;
• si t_i majore A alors x_i–1 aussi (car t_i – x_i–1 ≤ x_i – x_i–1 ≤ δ(t_i) = t_i – c pour un certain majorant c de A).

Par conséquent, de proche en proche (à partir de b) tous les x_i et les t_i majoreraient A, ce qui contredirait l'hypothèse initiale (a = x₀ serait le plus grand élément de A).

Soit f continue sur un segment [a, b]. Supposons que f n'admet pas de maximum et montrons qu'alors, le lemme de Cousin n'est pas satisfait pour la jauge suivante sur [a, b] : pour tout t dans [a, b], puisque f(t) n'est pas maximum, il existe y tel que f(t) < f(y) ; l'application f étant continue, il existe δ(t) > 0 tel que f([t – δ(t), t + δ(t)]) < f(y). Si [a, b] possédait une subdivision marquée ((x_i), (t_i)) δ-fine, on aurait : pour chaque i, il existe y_i tel que f(t_i) < f(y_i). Soit k tel que f(y_k) soit le plus grand des f(y_i). L'élément y_k est dans l'un des intervalles [x_i–1, x_i] de la subdivision, mais il doit alors vérifier, comme les autres éléments de cet intervalle : f(y_k) < f(y_i), ce qui est contradictoire avec la maximalité de f(y_k).

Soit f continue sur [a, b] et ne s'annulant pas. Montrons que f est de signe constant, en appliquant le lemme de Cousin à la jauge suivante sur [a, b] :

• si f(t) < 0, on prend δ(t) > 0 tel que f([t – δ(t), t + δ(t)]) < 0 ;
• si f(t) > 0, on prend δ(t) > 0 tel que f([t – δ(t), t + δ(t)]) > 0.

Soit ((x_i), (t_i)) une subdivision marquée δ-fine, alors f est de signe constant sur chaque intervalle [x_i–1, x_i] donc sur tout l'intervalle [a, b].

Soit f continue sur [a, b], et soit ε > 0. Pour tout t, il existe δ(t) > 0 tel que f([t – δ(t), t + δ(t)]) est inclus dans ]f(t) – ε/2, f(t) + ε/2[.

Soient ((x_i), (t_i)) une subdivision marquée δ/2-fine, puis η le plus petit des δ(t_i)/2. Si x et y sont tels que |x – y| ≤ η, et si x est dans l'intervalle [x_i–1, x_i], alors |x – t_i| ≤ δ(t_i)/2 et |y – t_i| ≤ δ(t_i)/2 + η ≤ δ(t_i), de sorte que f(x) et f(y) sont tous deux dans f([t_i – δ(t_i), t_i + δ(t_i)]) donc dans ]f(t_i) – ε/2, f(t_i) + ε/2[. Il en résulte que |f(x) – f(y)| < ε. On a ainsi montré que f est uniformément continue[9].

Soit f continue sur [a, b], et soit ε > 0. L'application f étant continue, pour tout t de [a, b], il existe δ(t) > 0 tel que f(]t – δ(t), t + δ(t)[) est inclus dans ]f(t) – ε, f(t) + ε[. Soient ((x_i), (t_i)) une subdivision marquée δ-fine, puis φ la fonction en escalier définie comme suit :

• φ(x_i) = f(x_i) ;
• pour tout élément x de ]x_i–1, x_i[, φ(x) = f(t_i).

Alors, φ approche f uniformément à ε près.

Soit f continue sur [a, b] et à valeurs dans le cercle unité 𝕌 du plan complexe. Pour tout t, il existe δ(t) > 0 tel que f([t – δ(t), t + δ(t)]) soit inclus dans 𝕌 privé d'un point. L'application f possède alors un relèvement local sur [t – δ(t), t + δ(t)]. Par exemple, si f([t – δ(t), t + δ(t)]) est inclus dans 𝕌\{–1}, on prendra comme relèvement (à un multiple de 2π près) la fonction θ égale à arccos(Re(f)) si Im(f) ≥ 0 et à –arccos(Re(f)) si Im(f) ≤ 0. Si l'on considère une subdivision marquée δ-fine ((x_i), (t_i)) de [a, b], on obtient un relèvement local θ_i sur chaque sous-intervalle [x_i–1, x_i] de la subdivision. On obtiendra un relèvement global continu en ajoutant au besoin à la fonction θ_i+1 le nombre θ_i(x_i) – θ_i+1(x_i), de façon à obtenir la continuité au point x_i.

Soit une suite réelle bornée, donc à valeurs dans un segment [a, b].

(i) Si t est une valeur d'adhérence de la suite, on prend δ(t) quelconque strictement positif.

(ii) Sinon, il existe δ(t) > 0 tel que l'intervalle [t – δ(t), t + δ(t)] ne contienne qu'un nombre fini de termes de la suite.

Le lemme de Cousin affirme l'existence d'une subdivision marquée δ-fine. Cela impose nécessairement au moins un marqueur du type (i), car si tous les marqueurs étaient du type (ii), la suite n'aurait qu'un nombre fini de termes.

Soit (O_i) une famille d'ouverts recouvrant un segment [a,b]. Pour tout t de [a,b], t est dans l'un des O_i. Ce dernier étant ouvert, il existe δ(t) > 0 tel que l'intervalle [t – δ(t), t + δ(t)] soit inclus dans O_i. Le lemme de Cousin affirme l'existence d'une subdivision marquée δ-fine. Chaque intervalle de cette subdivision est inclus dans l'un des O_i, ce qui définit un recouvrement de [a,b] par un nombre fini d'ouverts O_i[10].

Soit f une fonction continue définie sur un intervalle réel I et dont la dérivée f ' est définie et nulle, sauf en un nombre dénombrable de points. Alors f est constante[11]. En effet, soit ε > 0. Posons :

(i) Si t est égal à l'un des points t_n, n entier, en lesquels la dérivée n'est pas définie ou n'est pas nulle, utilisant la continuité de f, choisissons δ(t_n) > 0 tel que, pour tout x dans [t_n – δ(t_n), t_n + δ(t_n)], |f(x) – f(t_n)| < ε/2ⁿ⁺¹. Puisque la variation de f sur l'intervalle [t_n – δ(t_n), t_n + δ(t_n)] est au plus ε/2ⁿ, la somme de ces variations sur tous ces intervalles, lorsque n décrit l'ensemble des entiers, est majorée par 2ε.

(ii) Sinon, f '(t) = 0 donc il existe δ(t) > 0 tel que, pour tout x dans [t – δ(t), t + δ(t)], on ait |f(x) – f(t)| < ε|x – t|. Puisque la variation de f sur l'intervalle [t – δ(t), t + δ(t)] est au plus 2ε fois la longueur de l'intervalle, la somme de ces variations sur une réunion de tels intervalles est majorée par 2ε fois la somme des longueurs des intervalles.

Pour tout [a, b] dans I, le lemme de Cousin fournit une subdivision marquée δ-fine. En distinguant les marqueurs du type (i) et du type (ii), on obtient |f(b) – f(a)| < 2ε + 2ε(b – a), car b – a est un majorant de la somme des longueurs des intervalles de la subdivision du type (ii). L'inégalité étant vraie pour tout ε > 0, il en résulte que f(a) = f(b).

Soit f une fonction M-lipschitzienne sur un intervalle réel I et dont la dérivée f ' est définie et nulle presque partout. Alors f est constante[12]. En effet, soit ε > 0 et soit U un ouvert de mesure inférieure à ε contenant les points où la dérivée de f est non nulle ou non définie.

(i) Si t est un point de U, choisissons δ(t) > 0 tel que tel que [t – δ(t), t + δ(t)] soit inclus dans U. Pour tout x et tout y dans cet intervalle, |f(x) – f(y)| ≤ M |x – t|. Remarquons que la variation de f sur cet intervalle est au plus M fois la longueur de l'intervalle, et que la somme des longueurs de tels intervalles disjoints (sauf en leur extrémité) est inférieure à la mesure de U.

(ii) Sinon, f '(t) = 0 donc il existe δ(t) > 0 tel que, pour tout pour tout x dans [t – δ(t), t + δ(t)], on ait |f(x) – f(t)| < ε|x – t|. Puisque la variation de f sur l'intervalle [t – δ(t), t + δ(t)] est au plus 2ε fois la longueur de l'intervalle, la somme de ces variations sur une réunion de tels intervalles est majorée par 2ε fois la somme des longueurs des intervalles.

Pour tout [a, b] dans I, le lemme de Cousin fournit une subdivision marquée δ-fine. En distinguant les marqueurs du type (i) et du type (ii), on obtient |f(b) – f(a)| < M ε + 2ε(b – a), car b – a est un majorant de la somme des longueurs des intervalles de la subdivision du type (ii). L'inégalité étant vraie pour tout ε > 0, il en résulte que f(a) = f(b).

Une démonstration analogue s'applique aux fonctions absolument continues[12].

Soit F dérivable sur [a, b] de dérivée f. Alors f, bien que non nécessairement continue, est KH-intégrable et ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,{\rm {d}}t=F(b)-F(a)}$[13].

En effet, soit ε > 0. Pour tout t de [a, b], il existe δ(t) > 0 tel que, pour tout x dans [a, b] tel que 0 < |x – t| ≤ δ(t), on ait :

${\displaystyle \left|{\frac {F(x)-F(t)}{x-t}}-f(t)\right|\leq \varepsilon }$

ou encore : pour tout x dans [a, b] tel que |x – t| ≤ δ(t),

${\displaystyle \left|F(x)-F(t)-(x-t)f(t)\right|\leq \varepsilon |x-t|.}$

Pour toute subdivision marquée ((x_i), (t_i)) δ-fine, on aura donc :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|F(x_{i})-F(x_{i-1})-(x_{i}-x_{i-1})f(t_{i})\right|&\leq \left|F(x_{i})-F(t_{i})-(x_{i}-t_{i})f(t_{i})\right|+\left|F(t_{i})-F(x_{i-1})-(t_{i}-x_{i-1})f(t_{i})\right|\\&\leq \varepsilon (x_{i}-t_{i})+\varepsilon (t_{i}-x_{i-1})\\&=\varepsilon (x_{i}-x_{i-1})\end{aligned}}}$

et en sommant ces inégalités :

${\displaystyle \left|F(b)-F(a)-\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})f(t_{i})\right|\leq \varepsilon (b-a).}$

Or cette inégalité signifie que f est KH-intégrable et que son intégrale vaut F(b) – F(a).

On peut montrer que la conclusion reste vraie si F est dérivable sauf en un nombre dénombrable de points[14].