Nombres amicaux

Les nombres entiers 220 et 284 sont amicaux car :

• ${\displaystyle 220+284=504,}$
• ${\displaystyle \sigma (220)=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110+220=504,}$
• ${\displaystyle \sigma (284)=1+2+4+71+142+284=504}$

ou encore :

• ${\displaystyle s(220)=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284}$
• ${\displaystyle s(284)=1+2+4+71+142=220.}$

Les 13 paires de nombres amicaux dont le premier a moins de 6 chiffres[2] sont :

Les nombres amicaux ont une histoire liée depuis longtemps à la magie et à l'astrologie. Par exemple, certains commentateurs juifs de la Genèse pensaient que Jacob avait donné deux cents chèvres et vingt boucs, et autant de brebis et de béliers à son frère aîné Ésaü quand il commença à craindre que ce dernier le tue (Genèse 32:14) parce que 220 est un nombre amical[3].

Le philosophe Jamblique (vers 250-330) écrit que « les pythagoriciens connaissent ces nombres qu'ils appellent amicaux et leur associent certaines qualités sociales (comme 220 et 284) et Pythagore aurait parlé d'un ami qui « était un autre lui » comme le sont 220 et 284 ».

Quant à l'historien Ibn Khaldoun, il assure que les nombres amicaux 220 et 284 sont utilisés dans l'art des talismans pour favoriser les amitiés et les unions[4].

Il n'existe pas de formule ou méthode connue pour déterminer les nombres amicaux mais au fil des ans, certains types spéciaux ont été découverts. Thābit ibn Qurra (vers 850) démontre que :

Si n > 1 et si les trois nombres p = 3 × 2ⁿ⁻¹ − 1, q = 3 × 2ⁿ − 1 et r = 9 × 2²ⁿ⁻¹ − 1 sont premiers, alors 2ⁿpq et 2ⁿr sont amicaux.

Il faut cependant plusieurs siècles pour que cette formule produise les deuxième et troisième paires de nombres amicaux. La paire {17 296, 18 416} (n = 4) est signalée au XIV^e siècle, indépendamment, par les mathématiciens Ibn al-Banna[4] et Al-Farisi[5], puis redécouverte par Fermat, qui l'annonce dans une lettre à Mersenne en 1636. La paire {9 363 584, 9 437 056} (n = 7) est découverte par Muhammad Baqir Yazdi (en) au XVII^e siècle[5] et par Descartes, qui écrit à Mersenne en 1638 pour la lui signaler.

La paire {6 232, 6 368} est amicale mais ne peut pas être déduite de cette formule.

Euler ajouta 61 nouvelles paires de nombres amicaux, mais commit deux erreurs[4] qui furent découvertes en 1909 et 1914. En 1866 un jeune garçon de seize ans, un certain B. Nicolò I. Paganini (aucune parenté avec le violoniste), découvrit la paire {1 184, 1 210}, ignorée jusque-là[6].

Des recherches par ordinateur ont permis de trouver toutes les paires de nombres amicaux de moins de 12 chiffres[4] ainsi que quelques autres encore plus grands pour en arriver à un total de 2 185 621 paires en 2003[4]. On ne sait pas s'il existe une infinité de telles paires, ni s'il en existe une de nombres premiers entre eux. Si une telle paire existe, chacun des deux nombres doit comporter plus de 15 chiffres et leur produit doit être divisible par au moins 22 nombres premiers.

• Nombres fiancés, ou « quasi amicaux »
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