Nombre figuré

Les nombres linéaires sont les entiers classiques.

• Les nombres polygonaux (triangulaires, carrés, pentagonaux, hexagonaux, heptagonaux, octogonaux ou gnomoniques).
• Les nombres polygonaux centrés (triangulaires, carrés, pentagonaux, hexagonaux, heptagonaux, octogonaux).

• Les nombres tétraédriques.
• Les nombres cubiques et cubiques centrés.
• Les nombres octaédriques et octaédriques centrés.

Les nombres figurés ne sont plus représentables par des figures correspondant au monde tangible mais sont considérés comme des vues de l'esprit

• nombre hypersolide (en dimension quatre)
• nombre Dn (en dimension n)

Il existe une liste de nombres figurés évoluant à la fois sur la taille de la figure et sur la dimension qu'elle détermine : ce sont les nombres r-topiques. Le n-ième nombre r-topique est le nombre de points d'un r-simplexe dont les arêtes ont n points. C'est donc la somme des nombres (r – 1)-topiques d'indices 1 à n, ce qui permet, grâce à la formule de Pascal, de le calculer par récurrence :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad P_{r}(n)=C_{n+r-1}^{r}={n^{(r)} \over {r!}}}$

où ${\displaystyle r!}$ est la factorielle de ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle C_{n}^{p}={n \choose p}}$ est un coefficient binomial, et ${\displaystyle n^{(r)}}$ est la factorielle croissante.

Les nombres r-topiques constituent donc la (r + 1)-ième diagonale descendante du triangle de Pascal. Par exemple, ceux en dimensions r = 1, 2, 3, et 4 sont

• ${\displaystyle P_{1}(n)=n}$ (nombres linéaires),
• ${\displaystyle P_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}}}$ (nombres triangulaires),
• ${\displaystyle P_{3}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}$ (nombres tétraédriques) et
• ${\displaystyle P_{4}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}}$ (nombres pentatopiques).

• Théorème de Pick

Une classification des nombres figurés, sur recreomath.qc.ca