Al-Karaji

Al-Karaji est le maître à penser d'un courant qui se développe à partir du XI^e siècle sur une «arithmétisation des polynômes»[6] - [7]. Dans ses deux ouvrages, Al-Fakhri fi'l-jabr wa'l-muqabala, suivi de Al-Badi' fi'l-hisab (Livre merveilleux sur le calcul[8]), il définit les règles de produits et de quotients sur des monômes de puissances entières positives ou négatives. Il travaille sur des polynômes étendus aux puissances négatives, c'est-à-dire sur des expressions qui s'écrivent en notation moderne sous la forme ${\displaystyle \sum _{k=-m}^{n}a_{k}X^{k},}$ développant des règles sur la somme et le produit de tels expressions, ainsi que sur la division d'un polynôme par un monôme. Il présente une technique pour retrouver les coefficients d'un trinôme de degré quelconque connaissant le développement de son carré[9] - [1]. Les coefficients sont pris aussi bien dans les nombres rationnels que dans les nombres irrationnels[1]. Son travail sera prolongé par al-Samaw'al qui, avec une présentation des polynômes sous la forme de tableau de coefficients, permet de traiter l'algèbre des polynômes ${\displaystyle \mathbb {Q} [X;1/X]}$ comme on traite des nombres en écriture décimale[10].

On sait, toujours grâce à al-Samaw'al, qu'il aurait développé dans un ouvrage aujourd'hui perdu, la formule du binôme jusqu'à l'exposant 12 en expliquant que la même méthode peut se poursuivre au-delà et en présentant les divers coefficients sous la forme d'un tableau triangulaire, ancêtre du triangle de Pascal. Il explique la construction de ce triangle grâce à la formule dite de Pascal : chaque coefficient d'une ligne est la somme des deux coefficients de la ligne précédente situés juste au-dessus de lui[11]. C'est selon Roshdi Rached[1], un des premiers exemples d'une forme archaïque de raisonnement par induction.

Un autre exemple de raisonnement de ce type, par induction décroissante, se trouve dans Le Fahkri[12] où al-Karaji démontre la formule de la somme des cubes de tous les entiers de 1 à 10. Le raisonnement est double, faisant intervenir la géométrie et l'algèbre[13] et utilise les formules 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 ainsi que l'égalité 2n × n(n-1)/2 + n ²= n³. Il montre ainsi que (1 + 2 + 3 + ... + 10) ² = 1³ + 2 ³ + 3 ³ + ... + 10 ³. Il le fait en montrant d'abord que (1 + 2 + 3 + ... + 10) ² = (1 + 2 + 3 + ... + 9) ² + 10 ³ . En effet, (1 + 2 + 3 + ... + 10) ² = (1 + 2 + 3 + ... + 9) ² + 2 × 10 × (1 + 2 + ... + 9) + 10² (Il démontre cette égalité géométriquement et non algébriquement).

Il peut alors utiliser la même règle à (1 + 2 + 3 + ... + 9) ², puis à (1 + 2 + 3 + ... + 8) ², etc. pour obtenir : ${\displaystyle {\begin{aligned}(1+2+\cdots +10)^{2}&=(1+2+3+\cdots +8)^{2}+9^{3}+10^{3}\\&=(1+2+3+...+7)^{2}+8^{3}+9^{3}+10^{3}\\&=\cdots \\\ &=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\cdots +10^{3}\end{aligned}}}$

Al-Karaji développe aussi, comme son prédécesseur Abu Kamil, des techniques de calculs sur les nombres irrationnels.

Al-Karaji apporte une pierre significative à l'étude de l'analyse indéterminée, c'est-à-dire l'étude des équations algébriques à coefficients entiers à plusieurs inconnues possédant une infinité de solutions rationnelles. Le sujet n'est pas neuf. Les problèmes des Arithmétiques de Diophante traitent en grande partie de ce thème, à tel point que des équations de ce genre sont dites diophantiennes. Al-Karaji connaît plusieurs des livres des Arithmétiques traduits vers 870 par Qusta ibn Luqa[14], mais c'est avec l'éclairage de l'algèbre d'Al-Khwârizmî et des travaux d'Abu Kamil qu'il tente d'en dégager des méthodes de résolution[15]. Parmi les 254 problèmes de son Fakhri, la plupart sont déjà chez Diophante ou chez Abu Kamil, à l'exception de 60 problèmes originaux.

Il nomme ce champ d'étude al-Istiqra et lui consacre un traité aujourd'hui perdu. Le principe général de résolution consiste à utiliser une variable auxiliaire (paramètre) permettant de ramener l'équation à des formes connues. Il lui suffit alors de donner des valeurs du paramètre pour fournir des exemples de solutions. Son étude porte principalement sur les équations de la forme P(x)= y² où P(x) est un polynôme du second degré à coefficients entiers ou un polynôme de la forme ax²ⁿ+ bx^2n-1 ou ax²ⁿ+ bx^2n-2 mais son étude s'élargit à des systèmes d'équations diophantiennes à trois inconnues ou des équations de degré supérieur à deux[1].

Son Fakhri est plutôt un recueil organisé de problèmes de ce genre mais dans son Badi, destiné à un public plus averti, al-Karaji présente une théorie organisée des équations de ce type. Il s'affranchit de toute contrainte géométrique et de toute contrainte d'homogénéité pour rendre ses problèmes les plus généraux possibles[1].

Ses ouvrages sont commentés et approfondis par ses successeurs al-Samaw'al, al-Zanjani, Ibn al-Khawwam et Kamāl al-Dīn al-Fārisī[18], et parviennent à l'Occident grâce au Liber abaci de Fibonacci.

Ce dernier ouvrage, Kafi fi'l-hisab (Livre suffisant sur la science arithmétique) est probablement une œuvre de commande. Il n'est pas destiné à des mathématiciens mais à des fonctionnaires. Il explique les règles de calcul sur les entiers et les fractions, l'extraction de racine carrée. Il contient quelques formules d'aire et de volumes et de nombreux exemples[19]. Il n'utilise pas le système indien (système décimal), mais le système digital où les nombres sont écrits en toutes lettres[20]. Il est très proche, notamment en ce qui concerne les calculs d'aire et de volume, d'un livre didactique écrit par Abu l-Wafa, Livre sur ce que doivent savoir les scribes, les artisans et les autres en fait de science arithmétique[21].

Schéma de Qanats extrait du Inbat al-miyah al-khafiya

Le traité Inbat al-miyah al-khafiya (La Civilisation des eaux cachées) est écrit par al-Karaji probablement après ses traités mathématiques. Si l'on en croit les éléments biographiques figurant dans son introduction, al-Karaji aurait abandonné la rédaction de traités mathématiques pour se lancer dans des recherches scientifiques. Encouragé par un ministre de l'époque, Abu Ghanim Ma'ruf b. Muhammad, il aurait entrepris la rédaction de ce traité d'hydrologie. On date cet écrit autour de 1015 (406 H)[2] ou 1017[22].

Il répond à un réel besoin : la croissance rapide des grandes villes du monde arabo-musulman, alors en plein «âge d'or» nécessite de nouvelles méthodes d'approvisionnement en eau. De plus, le développement de l'agriculture et ses systèmes d'irrigation est une préoccupation importante de cette époque[2].

Cet ouvrage, un des plus anciens concernant l'hydrologie, révèle chez son auteur, une réelle maîtrise du sujet. Après une introduction contenant quelques notes biographiques, des considérations générales sur la géographie du globe, les phénomènes naturels, le cycle de l'eau, l'étude des terrains, l'auteur expose les techniques de recherches d'eaux souterraines, traite de leur exploitation. Il présente une description technique de la construction et l'entretien des quanats (conduites d'eau souterraines). On y trouve également des considérations juridiques sur la construction de puits et de conduites. Al-Karaji présente également quelques instruments dont certains sont de son invention[2].

Cet ouvrage est considéré comme une contribution originale en hydrologie et un document précieux sur les connaissances en ce domaine dans le monde arabo-musulman du X^e siècle[2].