Arithmétiques

Les Arithmétiques (Arithmetica) est une œuvre mathématique en grec due à Diophante d'Alexandrie, qui a eu une grande influence dans l'histoire des mathématiques. Elle aurait été écrite au III^e siècle de notre ère, selon l'hypothèse la plus courante chez les historiens, mais elle est difficile à dater. Elle se présente comme une liste de problèmes résolus, de nature que l'on pourrait qualifier aujourd'hui d'arithmétique ou algébrique : les problèmes se traduisent par des équations polynomiales portant sur des nombres rationnels positifs.

Couverture de l'édition de 1621, traduite en latin par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac.

Composition

Elle aurait comporté à l'origine 13 livres, dont 10 seulement nous sont parvenus, et seulement six en grec, grâce à des copies byzantines dont la plus ancienne date du XIII^e siècle. Les quatre autres ne sont connus que par une traduction arabe du X^e siècle, grâce à un manuscrit de la toute fin du XII^e siècle, identifié en 1971 par Roshdi Rashed[1].

Diophante fournit une collection de 130 problèmes d'algèbre donnant les solutions numériques d'équations déterminées (à solution unique) et indéterminées.

Postérité et influences

En référence à Diophante et à ses Arithmétiques, les équations polynomiales sur les nombres entiers sont appelées équations diophantiennes, et l'étude de celles-ci est l'analyse diophantienne.

L'œuvre de Diophante a inspiré Pierre de Fermat qui a proposé son dernier théorème, annoté dans la marge de l'exemplaire en sa possession. Le théorème affirme que lorsque $n$ est un entier strictement plus grand que 2, l'équation $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ n'a pas de solutions $x,y,z$ entiers non nuls.

Référence

Houzel 1996.

Voir aussi

Bibliographie

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(en) Isabella Bachmakova (trad. Abe Shenitzer), Diophantus and Diophantine Equations, Washington (D. C), MAA, 1997 (1^re éd. 1972), 90 p. (ISBN 978-0-88385-526-3, BNF 37544030, présentation en ligne) — version mise à jour par Joseph Silverman
(en) Isabella Bachmakova et Galina Smirnova (trad. Abe Shenitzer), The Beginnings and Evolution of Algebra, MAA, coll. « Dolciani mathematical expositions » (n^o 23), 2000 (1^re éd. 1997), 179 p. (ISBN 978-0-88385-329-0, présentation en ligne) — Le chapitre 3 est reproduit dans I. G. Bashmakova et G. S. Smirnova (trad. Abe Shenitzer), « The Birth of Literal Algebra », The American Mathematical Monthly, vol. 106, n^o 1,‎ janvier 1999, p. 57-66 (DOI 10.2307/2589589)
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Roshdi Rashed et Christian Houzel, Les Arithmétiques de Diophante : lecture historique et mathématique, Walter de Gruyter, coll. « Scientia Graeco-Arabica », 2013, 639 p. (ISBN 978-3-11-033593-4)
Norbert Schappacher, « Diophante d'Alexandrie : Un texte et son histoire », dans 4000 ans d'histoire des mathématiques : les mathématiques dans la longue durée, Actes du treizième colloque inter-IREM d'Histoire et d'Epistémologie des Mathématiques, IREM de Rennes, 6-7-8 mai 2000, 2002 (ISBN 2-85728-059-9, lire en ligne), p. 15-39
Jacques Sesiano, Une introduction à l'histoire de l'algèbre : résolution des équations des Mésopotamiens à la Renaissance, Lausanne, Presses polytechniques et universitaires romandes, 1999, 168 p. (ISBN 978-2-88074-394-9, BNF 37077194) — trad. (en) Jacques Sesiano (trad. Anna Pierrehumbert), An Introduction to the History of Algebra : Solving Equations from Mesopotamian Times to the Renaissance, American Mathematical Society, 2009, 174 p. (ISBN 978-0-8218-4473-1)
André Weil, « Sur les origines de la géométrie algébrique », Compositio Mathematica, t. 44, n^os 1-3,‎ 1981, p. 395-406 (lire en ligne)
(en) André Weil, Number Theory : An approach through history from Hammurapi to Legendre [détail des éditions]

Liens externes

(la) Guilielmus Xylander, « Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum, libri sex… », sur gallica, 1575

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