Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison

Selon la tradition de l'époque, l'introduction commence par des louanges à Dieu, au Prophète ainsi qu'au Calife Al-Ma’mūn. Puis Al-Khawarizmi présente la suite de l'ouvrage, en indiquant qu'il lui a été commandé par le Calife : il s'agit d'un abrégé, ou manuel, destiné à « rendre plus clair ce qui était obscur et [...] faciliter ce qui était difficile »[4] dans le but de résoudre des problèmes concrets de calcul d'héritage, arpentage ou de commerce. Il évoque deux parties : la première consiste à présenter des opérations de calcul, la deuxième est une liste d'exemples résolus.

La première partie du manuel est composée de quatre chapitres.

Dans le premier chapitre, l'auteur expose le système de numération décimale des nombres, puis définit les objets de l'algèbre[5]. Il considère trois types d'objets :

• les nombres (que nous appellerions des constantes, et notés ${\displaystyle c}$ par ailleurs dans cet article) qu'il désigne du nom d'une unité monétaire, le dirham d'argent,
• les racines (nombres solutions, le mot racine signifiant « ce qui est caché » et qu'il faut mettre à jour, que nous noterons ${\displaystyle x}$)
• et les carrés des racines (donc ${\displaystyle x^{2}}$).

Les mathématiciens arabes de l'époque ne connaissaient pas les nombres négatifs. Les nombres d'Al-Khawarizmi sont des entiers ou nombres rationnels positifs[5].

Le deuxième chapitre analyse systématiquement les équations de degré deux ou un, c'est-à-dire les équations dont l'écriture moderne[6] serait :

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

avec a éventuellement nul.

Le fait d'ignorer les nombres négatifs conduit Al-Khawarizmi à distinguer six cas dans lesquels les paramètres ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ et ${\displaystyle c}$ sont tous positifs :

1. les carrés égalent les racines : ${\displaystyle ax^{2}=bx}$ ;
2. les carrés égalent les nombres : ${\displaystyle ax^{2}=c}$ ;
3. les racines égalent les nombres : ${\displaystyle bx=c}$ ;
4. les carrés et les racines égalent les nombres : ${\displaystyle ax^{2}+bx=c}$ ;
5. les carrés et les nombres égalent les racines : ${\displaystyle ax^{2}+c=bx}$ ;
6. les racines et les nombres égalent les carrés : ${\displaystyle bx+c=ax^{2}}$.

Chacun des six cas est suivi d'exemples et de sa méthode de résolution, d'abord générale, puis, pour les trois derniers cas, appliquée aux exemples. Le chapitre s'achève sur les démonstrations des méthodes de résolution des trois cas par des raisonnements s'appuyant sur la géométrie, y compris la démonstration de l'existence des solutions[7].

Al-Khwarizmi résout les équations en utilisant successivement les deux techniques qui ont donné leur nom au livre : al-jabr et al-muqabala. En français moderne al-jabr et al-muqabala sont deux aspects de ce qu'on appelle transposition[8].

Dans le troisième chapitre, l'auteur étend le domaine de l'algèbre. Il applique les cinq opérations classiques (à savoir : l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de la racine carrée) à des objets plus complexes que les dirhams : des nombres non rationnels, des inconnues, des expressions combinant plusieurs nombres. Ce passage est moins maîtrisé que le précédent : l'exposé n'est pas systématique, certaines démonstrations sont présentées, mais pas toutes (Al-Khawarizmi avoue avoir échoué pour certaines)[9].

Exemple de calcul complexe démontré[10]

${\displaystyle \left({\sqrt {200}}-10\right)+\left(20-{\sqrt {200}}\right)=10.}$

Le quatrième et dernier chapitre de cette partie rassemble environ quarante exemples sur lesquels sont appliqués les méthodes présentées auparavant[2].

Cette partie de l'ouvrage, quantitativement la plus importante[11], est dédiée à « la résolution de problèmes de transactions commerciales, d’arpentage et de répartition des héritages[12]. »

Al-jabr signifie réduction, au sens de « réduction d'une fracture »[13], sa transcription en latin a donné algebra puis algèbre. L'al-jabr consiste à réduire l'équation en éliminant les soustractions par addition de termes dans les deux membres. En termes modernes, cela revient à obtenir une équation à coefficients tous positifs.

En effet, Al-Khawarizmi nomme les termes soustraits (comme 4x² dans l'exemple précédent) : nâqis, « terme enlevé ». Le même mot est employé pour désigner le membre manquant d'un amputé[14]. Al-jabr consiste donc à restaurer ce qui est manquant dans une équation.

Éliminer les soustractions par al-jabr ne suffit pas pour obtenir un des six cas canoniques.

Al-muqabala consiste à soustraire une quantité afin que des quantités de même type (dirham, racine ou carré) ne puissent se trouver à la fois dans les deux membres de l'équation.

• Ahmed Djebbar (préf. Bernard Maitte), L'algèbre arabe, genèse d'un art, Vuibert/Adapt, 2005, 214 p. (ISBN 2711753816) — Tour d'horizon de l'algèbre arabe, des origines au XV^e siècle.

• Jean-Pierre Levet, Robert de Chester. L'Algèbre d'Al-Khwarismi : [d'après l'édition latine du XIIe siècle], IREM de Poitiers, coll. « Cahiers d'histoire des mathématiques et d’épistémologie », 1997, 4 fasc. (présentation en ligne)
• (en) Louis Charles Karpinski, Robert of Chester's latin translation of the Algebra ok al-Khowarizmi, New York, The MacMillan Company, 1915 (lire en ligne)
  Partie algébrique de la traduction en latin de Robert de Chester, avec une traduction en anglais.
• (en) Frederic Rosen, The Algebra of Mohamed ben Musa, Londres, 1831 (lire en ligne)
  Copie et traduction commentée en anglais du texte arabe.
• Al-Khwārizmī (traduit et commenté par Roshdi Rashed), Al-Khwārizmī : Le commencement de l'algèbre, Blanchard, 2007 (ISBN 9782853672412)

• Léon Rodet, L'algèbre d'Al-Khârizmi et les méthodes indienne et grecque, Paris, coll. « Journal asiatique », 1878 (lire en ligne)

• Al-Khwarizmi sur le site Chronomath, pour une première approche.
• (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Al-Khwarizmi », sur MacTutor, université de St Andrews.

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• Gérard Hamon, « D’Al Khwarizmi à Cardan, les débuts de l’Algèbre », IREM de Rennes, février 2006
  Avec un tableau donnant une traduction d'une démonstration d'Al-Khwarizmi et, en regard, les notations modernes.
• Interview vidéo d'Ahmed Djebbar sur le site de l'École normale supérieure. Une vue d'ensemble de l'algèbre arabe médiévale en six parties, dont deux étudient spécifiquement le traité d'algèbre d'Al-Khwarizmi.