Loi des sinus

On considère un triangle quelconque ABC, représenté sur la Fig. 1 ci-contre, où les angles sont désignés par les minuscules grecques et les côtés opposés aux angles par la minuscule latine correspondante :

• a = BC et α = angle formé par [AB] et [AC] ;
• b = AC et β = angle formé par [BA] et [BC] ;
• c = AB et γ = angle formé par [CA] et [CB].

La formule dite des sinus est alors :

${\displaystyle \,{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$,

On a même mieux :

${\displaystyle \,{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {abc}{2S}}=2R}$,

où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC et

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$

est l'aire du triangle donnée à partir du demi-périmètre p par la formule de Héron.

La relation de proportionnalité est parfois résumée ainsi :

${\displaystyle a:b:c=\sin \alpha$ :\sin \beta :\sin \gamma }

Le théorème peut être utilisé

• pour déterminer le rayon du cercle circonscrit
  ${\displaystyle \,R={\frac {a}{2\sin \alpha }}}$
• pour résoudre un triangle dont on connaît deux angles et un côté.

Fig.2

On considère un triangle de côtés a, b, et c, et α, β, γ ses angles aux sommets A, B, et C respectivement. La hauteur issue de C divise le triangle ABC en deux triangles rectangles. Notons h cette hauteur ; on peut appliquer la définition du sinus dans les deux petits triangles rectangles pour exprimer h :

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {h}{b}}{\text{ et }}\sin \beta ={\frac {h}{a}}.}$

Dont on tire deux expressions pour h :

${\displaystyle h=b\sin \alpha =a\sin \beta \,}$

et donc :

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.}$

En faisant de même avec la hauteur issue de A on obtient :

${\displaystyle {\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.}$

L'aire S du triangle peut se calculer en choisissant le côté AB = c comme base et h comme hauteur. On obtient alors :

${\displaystyle S={\frac {c\times h}{2}}={\frac {c\times b\sin \alpha }{2}}.}$

En multipliant par ${\displaystyle {\tfrac {a}{S\sin \alpha }}}$, on en déduit :

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {abc}{2S}}.}$

Par symétrie des notations,

${\displaystyle {\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {abc}{2S}}\quad {\rm {et}}\quad {\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {abc}{2S}}.}$

En remplaçant C par le point D diamétralement opposé à A sur le cercle circonscrit, on trouve (Fig. 3 et 4)[2] - [3] :

${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{2R}}\quad {\rm {donc}}\quad {\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.}$

Si A et B sont diamétralement opposés, cette construction n'est pas possible mais l'égalité est immédiate (Fig. 5).

On démontre de même que

${\displaystyle {\frac {b}{\sin \beta }}=2R\quad {\rm {et}}\quad {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.}$

• (en) Eric W. Weisstein, « Law of Sines », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Generalized Law of Sines », sur MathWorld

• Trigonométrie :
  • sinus ;
  • fonction trigonométrique ;
  • trigonométrie sphérique ;
  • triangulation.
• Géométrie du triangle :
  • loi des cosinus ;
  • loi des tangentes ;
  • résolution d'un triangle.