Sinus polaire

En géométrie, le sinus polaire (noté psin) généralise le sinus d'un angle à certains angles solides.

Définition

Familles de n vecteurs de l'espace à n dimensions

Interprétations de Ω et Π dans le cas 3D : à gauche, un parallélépipède (de volume Ω) ; à droite, le parallélépipède rectangle correspondant (de volume Π).

Soit v₁, ..., v_n (pour n ≥ 2) une famille de vecteurs non nuls de l'espace euclidien à n dimensions ℝⁿ . On définit le sinus polaire de cette famille (ou, géométriquement, de l'angle solide formé par ces vecteurs si on les interprète comme les arêtes d'un parallélotope issues d'un même sommet) par la formule :

\operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})={\frac {\Omega }{\Pi }},

où le numérateur est le déterminant[1]

{\begin{aligned}\Omega &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}={\begin{vmatrix}v_{11}&v_{21}&\cdots &v_{n1}\\v_{12}&v_{22}&\cdots &v_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\v_{1n}&v_{2n}&\cdots &v_{nn}\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}

égal à l'hypervolume (signé) du parallélotope ayant pour arêtes

{\begin{aligned}\mathbf {v} _{1}&=(v_{11},v_{12},\cdots v_{1n})^{T}\\\mathbf {v} _{2}&=(v_{21},v_{22},\cdots v_{2n})^{T}\\&\,\,\,\vdots \\\mathbf {v} _{n}&=(v_{n1},v_{n2},\cdots v_{nn})^{T}\\\end{aligned}}

(l'exposant T indiquant la transposition de matrice).

et le dénominateur $\Pi =\prod _{i=1}^{n}\|\mathbf {v} _{i}\|$ , le produit des normes des vecteurs, et donc l'hypervolume d'un parallélotope rectangle de côtés de même longueurs que les vecteurs ; cette définition correspond à celle du sinus ordinaire pour une famille de deux vecteurs[2]. On voit facilement que le premier hypervolume est inférieur au second, et donc que $-1\leq \operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})\leq 1,\,$

comme pour le sinus ordinaire ; les bornes ne sont atteintes que si les vecteurs sont orthogonaux deux à deux.

Généralisation

Une version non signée du sinus polaire existe pour des familles de $n$ vecteurs d'un espace de dimension $m \geq n$ ; elle coïncide avec la valeur absolue de la définition précédente dans le cas $m = n$ . Comme précédemment, on pose $\operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})={\frac {\Omega }{\Pi }},$ mais en prenant

\Omega ={\sqrt {\det \left({\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\right)}}\,

Propriétés

Échange de vecteurs

Le déterminant étant une forme antisymétrique, on a :

${\begin{aligned}\Omega &=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{i}&\cdots &\mathbf {v} _{j}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\\&=-\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{j}&\cdots &\mathbf {v} _{i}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\\&=-\Omega \end{aligned}}$

Indépendance de la norme

Le sinus polaire ne change pas si les vecteurs sont multipliés par des constantes positives (et change de signe pour des constantes négatives), car :

{\begin{aligned}\operatorname {psin} (c_{1}\mathbf {v} _{1},\dots ,c_{n}\mathbf {v} _{n})&={\frac {\det {\begin{bmatrix}c_{1}\mathbf {v} _{1}&c_{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}}{\prod _{i=1}^{n}\|c_{i}\mathbf {v} _{i}\|}}\\[6pt]&={\frac {\prod _{i=1}^{n}c_{i}}{\prod _{i=1}^{n}|c_{i}|}}\cdot {\frac {\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}}{\prod _{i=1}^{n}\|\mathbf {v} _{i}\|}}\\[6pt]&=\operatorname {psin} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n})\end{aligned}}

Annulation

Le sinus polaire est nul si et seulement si la famille des $\mathbf {v} _{i}$ est liée.

Historique

Le sinus polaire fut défini et étudié par Euler en 1781[3].

Voir aussi

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Polar sinus » (voir la liste des auteurs).

(en) Gilad Lerman et J. Tyler Whitehouse, « On d-dimensional d-semimetrics and simplex-type inequalities for high-dimensional sine functions », Journal of Approximation Theory, vol. 156,‎ 2009, p. 52–81 (DOI 10.1016/j.jat.2008.03.005, arXiv 0805.1430)
(en) F Eriksson, « The Law of Sines for Tetrahedra and n-Simplices », Geometriae Dedicata, vol. 7,‎ 1978, p. 71–80 (DOI 10.1007/bf00181352)
(la) Leonhard Euler, « De mensura angulorum solidorum », Leonhardi Euleri Opera Omnia, vol. 26,‎ 1781, p. 204–223 (lire en ligne)

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Polar Sine », sur MathWorld

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