Loi des tangentes

La loi des tangentes est un corollaire immédiat des formules de Mollweide.

On peut aussi la déduire directement, comme ces dernières, de la loi des sinus et des formules de Simpson[1] :

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {a(1-{\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }})}{a(1+{\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }})}}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}={\frac {2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\left({\frac {\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}\right)}{\left({\frac {\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}\right)}}={\frac {\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}.}$

Une variante pour la deuxième étape est :

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}={\frac {\left({\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}\right)}{\left({\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}\right)}}={\frac {\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}.}$

Pour une surface non euclidienne de courbure K, on définit le rayon de courbure ρ par :

${\displaystyle \,\rho =1/{\sqrt {|K|}},}$

puis les dimensions réduites a, b et c du triangle par :

${\displaystyle \,a=BC/\rho ,\quad b=AC/\rho ,\quad c=AB/\rho .}$

Géométrie sphérique

Fig. 2 - Triangle sphérique : dimensions réduites a, b et c ; angles α, β et γ.

Dans un triangle sphérique ABC, a, b et c correspondent à la mesure angulaire des segments de grand arc [BC], [AC] et [AB] (Fig. 2) et la loi des tangentes devient :

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {a-b}{2}}}{\tan {\frac {a+b}{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}.}$

(en) Eric W. Weisstein, « Law of Tangents », sur MathWorld

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