Formule de Machin

On peut démontrer la formule de Machin[1] en utilisant l'identité trigonométrique ${\displaystyle \tan(a+b)={{\tan a+\tan b} \over {1-\tan a\tan b}}.}$

Une façon moderne de présenter le résultat est de le relier aux propriétés des nombres complexes. La formule de Machin découle alors de l'identité suivante entre nombres complexes : ${\displaystyle {(5+{\rm {i}})^{4} \over (239+{\rm {i}})}=2\times (1+{\rm {i}}).}$

En effet, on peut montrer l'équivalence suivante : ${\displaystyle m\arctan {\frac {1}{x}}+\arctan {\frac {1}{y}}\equiv {\frac {\pi }{4}}{\pmod {\pi }}\Leftrightarrow (x+{\rm {i}})^{m}(y+{\rm {i}}){\rm {e}}^{-{\rm {i}}{\frac {\pi }{4}}}\in \mathbb {R} .}$

Ceci permet de conclure en remarquant que l'on peut encore remplacer ${\displaystyle y+{\rm {i}}}$ par ${\displaystyle {\frac {1}{-y+{\rm {i}}}}}$ et en vérifiant[1] que ${\displaystyle 4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$ est strictement compris entre ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}-\pi }$ et ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}+\pi }$.

Le développement de arctan en série entière fournit la méthode de calcul suivante : ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{1 \over {2n+1}}\left({\frac {1}{5}}\right)^{2n+1}-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{1 \over {2n+1}}\left({\frac {1}{239}}\right)^{2n+1}.}$

D'autres formules du même type ont été découvertes, et on appelle « formules du type de Machin » les formules de la forme : ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n}^{N}a_{n}\arctan {\frac {1}{b_{n}}}}$ où les ${\displaystyle a_{n}}$ et les ${\displaystyle b_{n}}$ sont des entiers.

Il n'existe que trois autres formules du type de Machin avec deux termes seulement[2]. Elles ont été découvertes respectivement par Euler, Hermann et Hutton[3] (1776, utilisée par Vega en 1789) : ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}},}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}},}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.}$

Elles découlent respectivement des identités suivantes entre nombres complexes : ${\displaystyle {(2+{\rm {i}})(3+{\rm {i}})}=5(1+{\rm {i}}),}$ ${\displaystyle {(2+{\rm {i}})^{2} \over (7+{\rm {i}})}={\frac {1+{\rm {i}}}{2}},}$ ${\displaystyle {(3+{\rm {i}})^{2}(7+{\rm {i}})}=50(1+{\rm {i}}).}$

Il est en fait possible de construire une infinité de formules de ce type en utilisant plus de termes, mais seules les formules les plus efficaces historiquement pour calculer le nombre ${\displaystyle \pi }$ sont devenues célèbres. ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}}$ (Carl Friedrich Gauss) ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$ (Carl Størmer, 1896) ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$ (Kikuo Takano, 1982).

La recherche de formules de Machin efficaces se fait désormais systématiquement à l'aide d'ordinateurs. Les formules les plus efficaces du type de Machin actuellement connues pour calculer π sont : ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=183\arctan {\frac {1}{239}}+32\arctan {\frac {1}{1023}}-68\arctan {\frac {1}{5832}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}-12\arctan {\frac {1}{4841182}}-100\arctan {\frac {1}{6826318}}}$ 黃見利 (Hwang Chien-Lih, 1997) ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=183\arctan {\frac {1}{239}}+32\arctan {\frac {1}{1023}}-68\arctan {\frac {1}{5832}}+12\arctan {\frac {1}{113021}}-100\arctan {\frac {1}{6826318}}-12\arctan {\frac {1}{33366019650}}+12\arctan {\frac {1}{43599522992503626068}}}$ 黃見利 (Hwang Chien-Lih, 2003)

Il existe d'autres formules qui convergent plus rapidement vers π, comme la formule de Ramanujan, mais elles ne sont pas du type de Machin.