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Ennéagone

Un ennĂ©agone[1], ou nonagone[2] - [3] - [4], est un polygone Ă  sommets, donc 9 cĂŽtĂ©s et 27 diagonales.

La somme des angles internes d'un ennĂ©agone non croisĂ© vaut 7π radians, soit 1 260 degrĂ©s.

Un ennĂ©agone rĂ©gulier est un ennĂ©agone dont les neuf cĂŽtĂ©s ont la mĂȘme longueur et dont les angles internes ont mĂȘme mesure. Il y en a trois : deux Ă©toilĂ©s (les ennĂ©agrammes notĂ©s {9/2} et {9/4}) et un convexe, notĂ© {9}. C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'ennĂ©agone rĂ©gulier ».

Caractéristiques de l'ennéagone régulier

Si le cÎté a pour longueur a :

  • chacun des 9 angles internes mesure 7π/9 rad = 140° ;
  • chaque angle au centre mesure 2π/9 rad = 40° ;
  • le rayon du cercle circonscrit vaut ;
  • l'apothĂšme (le rayon du cercle inscrit) est (a/2) cot(π/9) ;
  • La grande diagonale a pour longueur ;
  • l'aire est Ă©gale Ă .

Construction d'un ennéagone régulier

Un ennéagone régulier n'est pas constructible avec seulement une rÚgle (non marquée) et un compas, car le nombre 9 ne satisfait pas la condition du théorÚme de Gauss-Wantzel. Il l'est, par contre, « par neusis », avec une rÚgle marquée et un compas.

Pour construire un ennéagone régulier dont un des cÎtés est le segment AB, de longueur u, on procÚde ainsi :

  • appelons D1 la droite contenant A et B ;
  • tracer les cercles C1 de centre A passant par B, et le cercle C2 de centre B passant par A. Ces deux cercles se coupent en deux points E et F, F Ă©tant le point du demi-plan d'origine D1 dans lequel on veut situer le centre de l'ennĂ©agone ;
  • tracer la droite D2 passant par E et F ;
  • tracer le cercle C3 de centre F passant par A ;
  • tracer les droites D3 et D4, passant par F et, respectivement, par A et B ;
  • marquer la rĂšgle de deux points X et Y distants de u Ă©gal au segment AB qui est le cĂŽtĂ© du triangle Ă©quilatĂ©ral ;
  • faire glisser la rĂšgle marquĂ©e en pivotant autour du point B et en maintenant la marque X sur D3, avec la marque Y entre X et B, jusqu'Ă  ce que la marque Y de la rĂšgle se trouve sur le cercle C3, en un point H. La marque X se trouve alors en un point G sur la droite D3. Tracer la droite D5 passant par B, H et G ;
  • tracer le cercle C4 de centre B passant par G, et le cercle C5 de centre G passant par B. Ces deux cercles se coupent en I et J, J Ă©tant le point situĂ© dans le demi-plan d'origine D5 contenant A ;
  • tracer la droite D6 passant par I et J. Elle coupe D2 en K ;
  • tracer le cercle C6 de centre K passant par A. Il passe aussi par B, G et J ;
  • C6 coupe D2 en un point O dans le demi-plan d'origine D1 contenant K ;
  • C6 coupe D4, C1 et C2, en des points autres que les points A ou B, respectivement en L, M et N ;
  • tracer la droite D7 passant par K et H. Elle coupe C6 en P dans le demi-plan d'origine D5 contenant N ;
  • le polygone ABNPGOLJM est l'ennĂ©agone recherchĂ©.

La démonstration complÚte est un peu longue mais relÚve de la géométrie élémentaire.

Construction par neusis d'un ennéagone régulier.

Architecture

Le plan ennéagonal de la ville de Palmanova.

Les remparts de Palmanova, en Italie, furent bĂątis par les VĂ©nitiens en suivant un plan circulaire oĂč les neuf bastions occupent les sommets d'un ennĂ©agone rĂ©gulier.

Notes et références

  1. Denis Henrion, Mémoires mathématiques, (lire en ligne), p. 358.
  2. Michel Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, M. Hayez, (lire en ligne), p. 453, 480 et 484.
  3. Encyclopédie méthodique, Mathématiques, vol. 2, p. 468.
  4. Le mot « nonagone » associe un préfixe latin et un suffixe grec.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

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