Ennéagone
Un ennéagone[1], ou nonagone[2] - [3] - [4], est un polygone à 9 sommets, donc 9 cÎtés et 27 diagonales.
Ennéagone régulier | |
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Type | Polygone régulier |
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ArĂȘtes | 9 |
Sommets | 9 |
Symbole de SchlÀfli | {9} |
Diagramme de Coxeter-Dynkin | ![]() ![]() ![]() |
Groupe de symétrie | groupe diédral D18 |
Angle interne | 140° |
La somme des angles internes d'un ennĂ©agone non croisĂ© vaut 7Ï radians, soit 1 260 degrĂ©s.
Un ennĂ©agone rĂ©gulier est un ennĂ©agone dont les neuf cĂŽtĂ©s ont la mĂȘme longueur et dont les angles internes ont mĂȘme mesure. Il y en a trois : deux Ă©toilĂ©s (les ennĂ©agrammes notĂ©s {9/2} et {9/4}) et un convexe, notĂ© {9}. C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'ennĂ©agone rĂ©gulier ».
Caractéristiques de l'ennéagone régulier
Si le cÎté a pour longueur a :
- chacun des 9 angles internes mesure 7Ï/9 rad = 140° ;
- chaque angle au centre mesure 2Ï/9 rad = 40° ;
- le rayon du cercle circonscrit vaut ;
- l'apothĂšme (le rayon du cercle inscrit) est (a/2) cot(Ï/9) ;
- La grande diagonale a pour longueur ;
- l'aire est Ă©gale Ă .
Construction d'un ennéagone régulier
Un ennéagone régulier n'est pas constructible avec seulement une rÚgle (non marquée) et un compas, car le nombre 9 ne satisfait pas la condition du théorÚme de Gauss-Wantzel. Il l'est, par contre, « par neusis », avec une rÚgle marquée et un compas.
Pour construire un ennéagone régulier dont un des cÎtés est le segment AB, de longueur u, on procÚde ainsi :
- appelons D1 la droite contenant A et B ;
- tracer les cercles C1 de centre A passant par B, et le cercle C2 de centre B passant par A. Ces deux cercles se coupent en deux points E et F, F étant le point du demi-plan d'origine D1 dans lequel on veut situer le centre de l'ennéagone ;
- tracer la droite D2 passant par E et F ;
- tracer le cercle C3 de centre F passant par A ;
- tracer les droites D3 et D4, passant par F et, respectivement, par A et B ;
- marquer la rÚgle de deux points X et Y distants de u égal au segment AB qui est le cÎté du triangle équilatéral ;
- faire glisser la rÚgle marquée en pivotant autour du point B et en maintenant la marque X sur D3, avec la marque Y entre X et B, jusqu'à ce que la marque Y de la rÚgle se trouve sur le cercle C3, en un point H. La marque X se trouve alors en un point G sur la droite D3. Tracer la droite D5 passant par B, H et G ;
- tracer le cercle C4 de centre B passant par G, et le cercle C5 de centre G passant par B. Ces deux cercles se coupent en I et J, J étant le point situé dans le demi-plan d'origine D5 contenant A ;
- tracer la droite D6 passant par I et J. Elle coupe D2 en K ;
- tracer le cercle C6 de centre K passant par A. Il passe aussi par B, G et J ;
- C6 coupe D2 en un point O dans le demi-plan d'origine D1 contenant K ;
- C6 coupe D4, C1 et C2, en des points autres que les points A ou B, respectivement en L, M et N ;
- tracer la droite D7 passant par K et H. Elle coupe C6 en P dans le demi-plan d'origine D5 contenant N ;
- le polygone ABNPGOLJM est l'ennéagone recherché.
La démonstration complÚte est un peu longue mais relÚve de la géométrie élémentaire.

Architecture

Les remparts de Palmanova, en Italie, furent bĂątis par les VĂ©nitiens en suivant un plan circulaire oĂč les neuf bastions occupent les sommets d'un ennĂ©agone rĂ©gulier.
Notes et références
- Denis Henrion, Mémoires mathématiques, (lire en ligne), p. 358.
- Michel Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, M. Hayez, (lire en ligne), p. 453, 480 et 484.
- Encyclopédie méthodique, Mathématiques, vol. 2, p. 468.
- Le mot « nonagone » associe un préfixe latin et un suffixe grec.
Voir aussi
Articles connexes
Liens externes
- G. Villemin, « Ennéagone », sur Nombres - Curiosités, théorie et usages
- (en) Eric W. Weisstein, « Trigonometry Angles â Pi/9 », sur MathWorld
- Ennéagone régulier : construction approchée sur geogebratube.org (précision 0,006 %)
- Constructions approchées d'un ennéagone régulier par l'IREM de l'université Montpellier 2
- Tracé de l'ennéagone (méthode approchée) sur le site du chùteau de Mézerville (précision 1 %)