Tangente (trigonométrie)

La tangente est une fonction trigonométrique fondamentale. Elle est notée tan et était auparavant notée tg.

Définitions

Représentation d'un triangle ABC rectangle en C.

Dans un triangle ABC rectangle en C, la tangente de l'angle Â est le rapport entre le côté opposé à A et le côté adjacent à A :

\tan {\hat {A}}={\frac {BC}{AC}}

Pour se le rappeler, on utilise fréquemment le sigle mnémotechnique « TOA » :

\mathrm {tangente} ={\frac {\mathrm {oppos{\acute {e}}} }{\mathrm {adjacent} }}

Représentation géométrique des valeurs des fonctions trigonométriques d'un angle θ.

Par rapport au cercle trigonométrique :

La tangente d'un angle θ est la longueur du segment de la tangente au cercle trigonométrique qui intercepte l'axe des abscisses.

Par rapport aux autres fonctions trigonométriques : la fonction tangente est le rapport entre la fonction sinus et la fonction cosinus :

\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}.

On remarque que cette fonction n'est pas définie pour des valeurs où le cosinus de l’angle s'annule, correspondant aux cas limites où la tangente est parallèle à la droite interceptrice.

Applications

Principe de la mesure au télémètre à parallaxe.

Dans un triangle rectangle, la fonction tangente permet de déterminer la longueur d'un côté de l'angle droit connaissant un angle et la longueur d'un des autres côtés. Ceci est utilisé pour la mesure optique de longueurs. Par exemple, avec un télémètre à parallaxe, la distance D d'un objet observé est déterminée à partir de la distance L séparant entre deux lunettes d'observation et de l'angle θ d'observation, déterminé en faisant coïncider les images des deux lunettes en faisant pivoter un miroir :

D=L\cdot \tan \theta

La tangente est également une manière d'exprimer la mesure d'un angle : lorsque l'on exprime une pente en pourcents (%), cela correspond à la tangente de l'angle de plus grande pente par rapport à l'horizontale, multipliée par cent.

Fonction tangente

Représentation graphique de la fonction tangente.

Propriétés

La fonction tangente est une fonction réelle qui est :

périodique, de période $π$ : $tan(θ + k \cdot π)= tan θ$ pour tout k entier ;
impaire : $tan(-θ)= - tan θ$ ;
elle s'annule en 0 et par conséquent pour tous les multiples entiers de $π$ : $tan(k π)=0$ pour tout k entier ;
elle présente des asymptotes verticales aux valeurs $θ= k π + π/2$ pour tout k entier :
$\lim _{\theta \to (\pi /2)^{-}}\tan \theta =+\infty$

$\lim _{\theta \to (\pi /2)^{+}}\tan \theta =-\infty$
sa dérivée est : $\tan '\theta ={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=1+\tan ^{2}\theta$
si un angle θ est exprimé en radians, alors pour les faibles valeurs de θ, on a :
tan θ ≃ θ (voir la section Développement limité ci-dessous).

En appliquant la formule d'Euler, on a :

\tan \theta ={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}{\mathrm {i} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta })}}

La fonction réciproque est la fonction arc tangente, notée arctan ; certaines calculatrices la notent « atan ».

L'inverse de la fonction tangente est la fonction cotangente, notée cot (parfois cotan ou cotg) :

\operatorname {cot} \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}

Développement limité

Le développement limité de la fonction tangente en zéro est :

\tan x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\ldots +{\frac {(-1)^{n}\cdot 2^{2n}\cdot (1-2^{2n})\cdot B_{2n}}{(2n)!}}\cdot x^{2n-1}+o(x^{2n})

où les B_2n sont les nombres de Bernoulli.

Le calcul des coefficients du développement limité peut également s'obtenir par la transformation du boustrophédon.

Calcul numérique

Le calcul de la tangente se fait par série, mais plutôt que d'utiliser le développement limité par série de Taylor, qui utilise de nombreuses multiplications, on préfère l'algorithme CORDIC.

Tangente avec un argument complexe

Les racines de l'équation $\cos z=0$ sont les nombres $\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi$ ( $n\in {\mathbb {Z}}$ ). On pose

\tan z:={\frac {\sin z}{\cos z}}

pour tout complexe

z\notin \left(\mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}\right)\pi

Cette fonction prolonge aux valeurs non réelles de $z$ la fonction tangente pour $x$ réel. Elle est analytique sur l'ouvert où elle est définie[1].

Utilisant la technique de développement en éléments simples d'une fonction méromorphe, on peut trouver la série infinie :

\tan(z)=-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{z-(k+{\frac {1}{2}})\pi }}+{\frac {1}{z+(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {-2z}{z^{2}-(n+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {-8z}{4z^{2}-(2n+1)^{2}\pi ^{2}}}

Références

Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal [détail des éditions], Hermann, 1980, p. ?.

Voir aussi

Cotangente
Identité trigonométrique pythagoricienne
Tangente hyperbolique
Substitution de Weierstrass (fonctions sinus et cosinus comme fonctions rationnelles de la tangente du demi-angle)
La tangente de tout rationnel non nul est irrationnelle.

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