Transformation du boustrophédon

Schéma de principe des additions

La transformation du boustrophédon permet de calculer le développement limité de la fonction tangente en 0[1]. Chaque ligne s'écrit dans le sens contraire de la précédente, en commençant par zéro ; et chaque terme se calcule en effectuant la somme du terme écrit précédemment et du terme écrit au-dessus. En partant de 1, la séquence devient :

La suite des nombres formant le côté droit de ce triangle (sans le premier chiffre), soit 1, 0, 2, 0, 16, 0, 272, etc., appelée suite des nombres tangents[2], donne la suite des coefficients du développement limité de la fonction tangente en 0 (en commençant par celui de ${\displaystyle x^{1}}$) :

${\displaystyle \tan(x)=1\times {\frac {x^{1}}{1!}}+0\times {\frac {x^{2}}{2!}}+2\times {\frac {x^{3}}{3!}}+0\times {\frac {x^{4}}{4!}}+16\times {\frac {x^{5}}{5!}}+0\times {\frac {x^{6}}{6!}}+272\times {\frac {x^{7}}{7!}}+o(x^{7})}$

ce qui donne, après simplification :

${\displaystyle \tan(x)=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+o(x^{7})}$.

La suite formant le côté gauche (avec le premier chiffre), soit 1, 0, 1, 0, 5, 0, 61, 0, etc., donne la suite des coefficients du développement limité de la fonction sécante en 0 (en commençant par celui de ${\displaystyle x^{0}}$, c'est-à-dire le terme constant)[1].

${\displaystyle \sec(x)=1+0\times {\frac {x^{1}}{1!}}+1\times {\frac {x^{2}}{2!}}+0\times {\frac {x^{3}}{3!}}+5\times {\frac {x^{4}}{4!}}+0\times {\frac {x^{5}}{5!}}+61\times {\frac {x^{6}}{6!}}+0\times {\frac {x^{7}}{7!}}+o(x^{7})}$