Formule de Brahmagupta

Figure illustrative.

En suivant les notations de la figure, l'aire S du quadrilatère inscriptible est la somme des aires des triangles (ADB) et (BDC) :

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin {\widehat {A}}+{\frac {1}{2}}cd\sin {\widehat {C}}}$

mais comme (ABCD) est inscriptible, les angles en A et C sont supplémentaires et ont le même sinus, par suite : ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}(ab+cd)\sin {\widehat {A}}}$

d'où en élevant au carré :

${\displaystyle 4S^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos ^{2}{\widehat {A}}(ab+cd)^{2}\,}$

En appliquant le théorème d'Al-Kashi aux triangles (ADB) et (BDC) et en égalant les expressions du côté commun DB, on obtient :

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\widehat {A}}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos {\widehat {C}}\,}$

ce qui s'écrit puisque les angles en A et C sont supplémentaires :

${\displaystyle 2\cos {\widehat {A}}(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}.\,}$

En reportant dans la formule précédente, on obtient :

${\displaystyle {\begin{aligned}16S^{2}&=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}\\&=(2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})\\&=((a+b)^{2}-(c-d)^{2})((c+d)^{2}-(a-b)^{2})\\&=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d).\end{aligned}}}$

En introduisant ${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}$, on obtient :

${\displaystyle 16S^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\,}$

d'où

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.}$

• Le carré correspond au cas ${\displaystyle b=c=d=a,\quad p=2a}$ et ${\displaystyle S={\sqrt {a^{4}}}=a^{2}\,}$
• Le rectangle correspond au cas ${\displaystyle a=b=L,\quad c=d=l,\quad p=(L+l)}$ et ${\displaystyle S={\sqrt {L^{2}\cdot l^{2}}}=L\cdot l\,}$
• Le triangle correspond au cas ${\displaystyle d=0\quad }$ : on retrouve alors la formule de Héron.

• Formule de Bretschneider

• Théorème de Brahmagupta (autre propriété du quadrilatère inscriptible)
• Identité de Brahmagupta (en arithmétique)

• (en) Eric W. Weisstein, « Brahmagupta's Formula », sur MathWorld