Identité de Brahmagupta

Une première forme, souvent appelée « identité de Diophante » (Arithmetica, Livre III, 19) dit que le produit de deux nombres, égaux chacun à une somme de deux carrés, est lui-même une somme de deux carrés. Précisément :

${\displaystyle \forall a,b,c,d\in A\quad (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}}$,

où A désigne un anneau commutatif.

Démonstration

Il suffit de développer puis factoriser le terme de droite :

${\displaystyle {\begin{aligned}(ac-bd)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&=a^{2}c^{2}-2acbd+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+2adbc+b^{2}c^{2}\\&=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}\\&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right).\end{aligned}}}$

L'usage le plus fréquent est celui où A est l'anneau des entiers relatifs ou le corps des rationnels, des réels ou des complexes.

Sous sa forme générale, l'identité de Brahmagupta est

${\displaystyle (a^{2}-nb^{2})(c^{2}-nd^{2})=(ac+nbd)^{2}-n\left(ad+bc\right)^{2}.}$

Elle se déduit de celle de Diophante en multipliant ${\displaystyle b}$ et ${\displaystyle d}$ par ${\displaystyle {\sqrt {-n}}}$ (c.-à-d. par ${\displaystyle e}$, dans l'anneau quotient générique ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[a,b,c,d,n,e\right]/(e^{2}+n)}$). Inversement, l'identité de Diophante est le cas particulier ${\displaystyle n=-1}$ de celle de Brahmagupta.

On obtient des formes équivalentes de ces deux identités en remplaçant ${\displaystyle b}$ par son opposé :

${\displaystyle {\begin{aligned}(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})&=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2},\\(a^{2}-nb^{2})(c^{2}-nd^{2})&=(ac-nbd)^{2}-n(ad-bc)^{2}.\end{aligned}}}$

• L'identité de Brahmagupta exprime la multiplicativité de la norme relative à une extension quadratique.
• Un cas particulier est la multiplicativité du module d'un nombre complexe : si u = a + ib et v = c + id avec a, b, c, d réels, l'identité de Diophante exprime que |u|² |v|² = |uv|².
• Posant dans l'espace euclidien ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle u=(a,b),v=(d,c)}$, l'identité de Diophante exprime que ${\displaystyle \|u\|^{2}\|v\|^{2}=(\det(u,v))^{2}+(u.v)^{2}}$.
• L'identité des quatre carrés d'Euler peut être vue comme une généralisation, utilisant la norme des quaternions.
• Il existe une identité similaire en huit carrés, dérivée des nombres de Cayley et liée à la périodicité de Bott (en).