Méthode chakravala

En mathématiques et plus précisément en arithmétique, la méthode chakravala est un algorithme pour résoudre l'équation de Pell-Fermat. Cette équation est un exemple d'équation diophantienne, c'est-à-dire à coefficients entiers et dont on cherche les solutions entières. Plus précisément, c'est l'équation

x^{2}-ny^{2}=1

où n est un entier naturel non carré.

Cette méthode fut développée en Inde et ses racines peuvent être retracées jusqu'au VI^e siècle avec Aryabhata, suivi par Brahmagupta. Initiée par Jayadeva (en), elle fut développée plus avant par Bhāskara II.

Selenius l'évalue par : « La méthode représente un algorithme de meilleure approximation de longueur minimale qui, en raison de plusieurs propriétés de minimisation, produit automatiquement […], à moindre coût […] et en évitant les grands nombres, les plus petites solutions de l'équation […] La méthode chakravāla précéda les méthodes européennes de plus de mille ans. Mais aucune performance européenne dans le champ entier de l'algèbre, beaucoup plus tard après Bhāskara […], n'égala la merveilleuse complexité et l'ingéniosité de chakravāla[1]. »

Il faut en effet attendre le XVII^e siècle pour que les Européens, qui ignoraient les travaux des mathématiciens indiens, découvrent des algorithmes — moins performants[1] — résolvant le même problème.

Aryabhata établit les fondements de la méthode chakravala.

Objectif

Une forme d'équation de Pell-Fermat s'exprime de la manière suivante :

x^{2}-ny^{2}=1,

où n est un entier naturel non carré. L'équation est diophantienne ce qui signifie que les couples (x, y) recherchés sont des couples d'entiers. Toutes les solutions s'expriment à partir du couple solution formé de deux entiers minimaux en valeur absolue dans l'ensemble des solutions. La méthode chakravala permet d'obtenir un couple de cette nature.

L'égalité suivante est un exemple de solution ; elle était connue des Indiens du VII^e siècle[2] :

1151^{2}-92\times 120^{2}=1.

Histoire

Mathématiques indiennes

Les mathématiques indiennes s'intéressent très tôt à l'arithmétique. Aryabhata, un mathématicien du VI^e siècle, en établit les bases. Il développe un système de numération montrant qu'il connaissait probablement la notation positionnelle ainsi que l'existence du zéro[3]. Il travaille sur les équations diophantiennes et pour résoudre l'identité de Bézout, met au point un algorithme équivalent à celui d'Euclide qu'il appelle kuṭṭaka (कूटटक) et qui signifie pulvérisateur car il casse les nombres en entiers plus petits. Il travaille aussi sur les fractions continues[4].

Le mathématicien indien Brahmagupta (598 – 668) semble être le premier à analyser en profondeur cette question. Il comprend comment, à partir de deux solutions, il est possible d'en construire une nouvelle. En réitérant, il obtient ainsi un nombre de solutions distinctes aussi élevé que souhaité. Cette méthode est appelée samasa par les mathématiciens indiens[5]. Brahmagupta en déduit trois algorithmes. Le premier lui permet de trouver une solution s'il dispose d'un couple d'entiers (x, y) dont l'image par l'équation est –1. Il en trouve un deuxième traitant le cas où l'image est 2 en valeur absolue. Il en trouve un troisième donnant le même résultat si l'image est égale à ±4. Une ébauche de méthode voit le jour. Elle commence par un tâtonnement jusqu'à trouver un couple ayant pour image 1, 2 ou 4 en valeur absolue, elle continue par l'un des trois algorithmes[6]. Brahmagupta l'utilise en 628 dans son livre Brahmasphuta siddhanta pour résoudre l'équation suivante[7] :

x^{2}-83y^{2}=1.

Cette approche est insuffisante pour traiter les cas complexes, il peut être difficile de trouver par tâtonnement un couple donnant une des six valeurs qui permettent de conclure. Au XII^e siècle, Bhāskara II s'inspire de traités antérieurs et propose la forme définitive de la méthode chakravala. Elle correspond à l'adjonction d'un algorithme cyclique, c'est-à-dire donnant une suite périodique de couples contenant nécessairement une solution. L'algorithme cyclique est équivalent à celui des fractions continues. La méthode chakravala termine par les calculs de Brahmagupta si l'une des valeurs –1, ±2 et ±4 apparaît. Bhāskara II l'utilise en 1150 dans son traité Bijaganita[7] pour trouver une solution minimale à l'équation suivante déjà trouvée par Brahmagupta :

x^{2}-61y^{2}=1.

Le couple solution trouvé est :

x=1\,766\,319\,049\quad {\text{et}}\quad y=226\,153\,980.

Il est peu probable que Bhāskara II ait démontré le fait que l'algorithme offre toujours une solution, c'est-à-dire pour n'importe quelle valeur de n car la démonstration, longue et technique, demande une sophistication de loin supérieure aux mathématiques du XII^e siècle[7]. De nouveaux exemples sont traités plus tard, par les mathématiciens indiens. Au XIV^e siècle un mathématicien du nom de Narayana étudie le cas où n est égal à 103 dans ses commentaires sur le livre Bijaganita de Bhāskara II.

Europe

En février 1657 (à la suite d'un autre défi plus célèbre datant du 3 janvier de la même année[8]), Pierre de Fermat défie Bernard Frénicle de Bessy[9] et, à travers lui tous mathématiciens européens, de résoudre (entre autres) le problème pour n = 61. La réaction des Anglais est rapide : William Brouncker trouve un algorithme. Frénicle de Bessy propose alors une table contenant toutes les solutions pour les valeurs de n inférieures à 150, qui sera finalement perdue, puis John Wallis redécouvre les résultats de Brahmagupta et les démontre rigoureusement. Frénicle de Bessy défie Brouncker avec la valeur n = 313 ; il reçoit en réponse non seulement la solution mais l'affirmation que son auteur n'a pas eu besoin de plus « d'une heure ou deux » pour trouver[10].

Les deux questions théoriques sous-jacentes, à savoir si pour tout entier naturel n non carré il existe une solution et si la solution trouvée engendre bien toutes les autres, sont finalement résolues par Lagrange en 1767[11], par un algorithme moins performant que celui — alors ignoré des Européens — dû à Bhāskara, mais dont la correction est plus simple à démontrer. En 1930, A. A. Krishnaswami Ayyangar (en) affirme être le premier à prouver celle de chakravala[12].

Apports de Brahmagupta

Décors

Les méthodes proposées ici utilisent la puissance du formalisme actuel. Si le contenu mathématique est analogue à celui de Brahmagupta, les techniques d'exposition ainsi que les démonstrations ne reflètent pas la pensée du mathématicien indien. Les notations suivantes sont utilisées dans tout le reste de l'article. On considère l'équation diophantienne suivante, où n est un entier naturel non carré :

(1)\quad x^{2}-ny^{2}=1.

Soient A l'anneau des nombres de la forme a + $\sqrt n$ b, où a et b désignent deux nombres entiers, N l'application qui à un élément de A associe sa « norme » et φ l'application qui à un élément de A associe son « conjugué » :

{\mathcal {N}}(a+{\sqrt {n}}b)=a^{2}-nb^{2},\quad \varphi (a+{\sqrt {n}}b)=a-{\sqrt {n}}b.

La fonction N correspond à la norme de A au sens de la théorie algébrique des nombres. Un élément a + $\sqrt n$ b de A est appelé racine de l'équation (1) si et seulement si sa norme vaut 1, c'est-à-dire si (a, b) est solution de (1).

La fonction φ possède aussi d'utiles propriétés. C'est un automorphisme de A :

\forall \alpha ,\beta \in A\quad \varphi (\alpha +\beta )=\varphi (\alpha )+\varphi (\beta ),\quad \varphi (\alpha \beta )=\varphi (\alpha )\varphi (\beta ),\quad \varphi (1)=1.

La conjugaison φ est involutive c'est-à-dire que composée deux fois de suite avec elle-même, elle est égale à l'identité, ou encore sa bijection réciproque est égale à elle-même :

\forall \alpha \in A\quad (\varphi \circ \varphi )(\alpha )=\alpha .

Enfin, le produit de deux éléments conjugués est égal à leur norme commune :

\forall \alpha \in A\quad {\mathcal {N}}(\alpha )=\alpha \varphi (\alpha ).

Si l'on note α = a + $\sqrt n$ b, cela est justifié par le calcul suivant :

{\mathcal {N}}(\alpha )=a^{2}-nb^{2}=(a+{\sqrt {n}}b)(a-{\sqrt {n}}b)=\alpha \varphi (\alpha ).

Samasa

La première propriété utilisée est la suivante :

Soit α et β deux éléments de A, alors :
${\mathcal {N}}(\alpha \beta )={\mathcal {N}}(\alpha ){\mathcal {N}}(\beta ).$

Si α = a₁ + $\sqrt n$ a₂ et β = b₁ + $\sqrt n$ b₂, cette égalité s'écrit :

(a_{1}b_{1}+na_{2}b_{2})^{2}-n(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})^{2}=(a_{1}^{2}-na_{2}^{2})(b_{1}^{2}-nb_{2}^{2}).

Cette égalité, connue sous le nom d'identité de Brahmagupta, était appelée Samasa par les Indiens. Pour se convaincre de son exactitude, il suffit d'exprimer N en fonction de l'automorphisme φ :

{\mathcal {N}}(\alpha \beta )=\alpha \beta \varphi (\alpha \beta )=\alpha \varphi (\alpha )\beta \varphi (\beta )={\mathcal {N}}(\alpha ){\mathcal {N}}(\beta ).

Un cas particulier correspond à celui où β est un entier k, l'égalité prend la forme suivante :

Soit α un élément de A et k un entier, alors :
${\mathcal {N}}(k\alpha )={\mathcal {N}}(k){\mathcal {N}}(\alpha )=k^{2}{\mathcal {N}}(\alpha ).$

Conséquences

Soit α un élément de A de norme 1, alors φ(α) est inverse de α et de norme 1.

Si l'équation (1) admet une solution différente de ±1, alors elle admet une infinité de solutions distinctes.

En effet, N(α) = N(φ(α)) = αφ(α), et si α est une solution de (1) alors α^k aussi pour tout entier naturel k (car la norme d'un produit est égale au produit des normes), or les puissances d'un réel différent de 0, 1 et –1 sont toutes distinctes.

Comprendre comment fait Brahmagupta pour résoudre l'équation (1) dépend de trois propositions :

Soit α un élément de A.

Si N(α) = ±1 alors α² est une solution de (1).

Si N(α) = ±2 alors α²/2 est une solution de (1).

Si N(α) = 4ε avec ε = ±1 alors une solution de (1) est :
si α est divisible par 2 : (α/2)^(3–ε)/2 ;

si n est pair[13] : α²/4 ;

sinon : (α³/8)^(3–ε)/2.

Démonstration

: immédiat.
: si α = a + b $\sqrt n$ alors α² = a² + nb² + 2ab $\sqrt n$ = N(α) + 2nb² + 2ab $\sqrt n$ est divisible par 2 (et 2²N(α²/2) = N(α²) = (±2)² donc N(α²/2) = 1).
: les deux premiers cas sont immédiats et dans le troisième, n, a et b sont impairs, si bien que α³ est divisible par 8 car ${\begin{aligned}\alpha ^{3}&=(a+b{\sqrt {n}})^{3}=a^{3}+3ab^{2}n+{\sqrt {n}}(nb^{3}+3a^{2}b)=a(a^{2}-nb^{2}+4nb^{2})+b{\sqrt {n}}(3a^{2}-3nb^{2}+4nb^{2})\\&=a\left({\mathcal {N}}(\alpha )+4nb^{2}\right)+b{\sqrt {n}}\left(3{\mathcal {N}}(\alpha )+4nb^{2}\right)=4a\left(\varepsilon +nb^{2}\right)+4b{\sqrt {n}}\left(3\varepsilon +nb^{2}\right)\quad {\text{avec}}\quad \varepsilon =\pm 1.\end{aligned}}$

Exemple de Brahmagupta

Traitons avec cette méthode l'exemple de Brahmagupta suivant :

x^{2}-83y^{2}=1.

Soit α = m + √83, l'entier m étant choisi tel que la norme N(α) = m² – 83 soit la plus petite possible en valeur absolue : m = 9, α = 9 + √83, N(α) = –2. Une proposition précédente montre que α²/2 est une solution. Effectivement :

\alpha ^{2}=(9^{2}+83\cdot 1)+{\sqrt {83}}\cdot 2\times 9\times 1=164+{\sqrt {83}}\cdot 18=2\left(82+{\sqrt {83}}\cdot 9\right)

82^{2}-83\times 9^{2}=6\,724-6\,723=1.

Défi de Fermat

Le défi de Fermat se résout de la même manière :

x^{2}-61y^{2}=1.

Brahmagupta s'y prend de la manière suivante : il remarque que si α = 39 + 5√61 alors N(α) est égal à –4. Bien évidemment le formalisme de Brahmagupta n'a rien à voir avec celui utilisé ici, même si les calculs sont les mêmes. Il calcule α²/2 :

{\frac {\alpha ^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}(39+5{\sqrt {61}})^{2}={\frac {1}{2}}(39^{2}+5^{2}\times 61+2\times 5\times 39{\sqrt {61}})=1\,523+195{\sqrt {61}}.

Puis il calcule α³/8 et sa norme :

{\frac {\alpha ^{3}}{8}}={\frac {1}{4}}(39+5{\sqrt {61}})(1\,523+195{\sqrt {61}})=29\,718+3\,805{\sqrt {61}}\quad {\text{et}}\quad {\mathcal {N}}({\frac {\alpha ^{3}}{8}})=29\,718^{2}-61\times 3\,805^{2}=-1.

La solution est donc α⁶/64, soit :

{\frac {\alpha ^{6}}{64}}=(29\,718+3\,805{\sqrt {61}})^{2}=29\,718^{2}+61\times 3\,805^{2}+2\times 29\,718\times 3\,805{\sqrt {61}}=1\,766\,319\,049+226\,153\,980{\sqrt {61}}.

La méthode est remarquablement économique pour un algorithme aussi ancien.

Apport de Bhāskara II

Principe de la méthode

Une difficulté de la méthode de Brahmagupta réside dans le fait qu'il n'est pas toujours simple de trouver un nombre α de A dont la norme soit égale à ±1, ±2 ou ±4. L'apport de Bhāskara II décrit dans le Siddhanta Siroman consiste à enrichir la méthode d'un algorithme qui finit infailliblement par fournir une « quasi-solution » de cette nature.

Bhāskara II construit par récurrence une suite d'éléments α_j = a_j + b_j $\sqrt n$ de A de la manière suivante. Le premier élément de la suite est α₀ = 1, de norme k₀ = 1. Supposons la suite définie à l'ordre j. On construit un élément β_j = m_j + $\sqrt n$ . L'entier naturel[14] m_j est tel que a_j + m_jb_j soit multiple de la norme k_j de α_j — autrement dit tel que b_jm_j soit congru à –a_j modulo k_j — et m_j minimise la valeur absolue de la norme m_j² – n de β_j. L'élément α_{j + 1} est alors défini par

\alpha _{j+1}=a_{j+1}+b_{j+1}{\sqrt {n}}={\frac {\alpha _{j}\beta _{j}}{|{\mathcal {N}}(\alpha _{j})|}}={\frac {a_{j}m_{j}+nb_{j}+{\sqrt {n}}(a_{j}+m_{j}b_{j})}{|{\mathcal {N}}(\alpha _{j})|}}

ou encore

\alpha _{j+1}\varphi (\alpha _{j})=\pm \beta _{j},

le ± correspondant au signe de N(α_j) — l'avantage de prendre en compte ce signe[15] est qu'ainsi, a_j et b_j sont toujours positifs.

On verra plus loin que la condition « a_j + m_jb_j multiple de k_j » équivaut à « m_j congru à –m_j–1 modulo k_j », ce qui simplifie l'algorithme.

Défi de Fermat

Choisissons encore n égal à 61[16]. La valeur de m₀ est égale à 8 pour minimiser |N(β₀)|. En effet, √61 est compris entre 7 et 8 et 8² – 61 = 3 < 61 – 7². L'entier m₁ est ensuite choisi parmi ceux congrus, modulo N(α₁) = N(8 + √61) = 8² – 61 = 3, à –m₀ = –8 donc à 1. Des deux termes consécutifs 7 et 10 de cette suite arithmétique qui encadrent √61, celui qui minimise |N(β₁)| est m₁ = 7, ce qui donne :

\alpha _{2}={\frac {8\times 7+61}{3}}+{\frac {8+7}{3}}{\sqrt {61}}=39+5{\sqrt {61}}\quad {\text{et}}\quad {\mathcal {N}}(\alpha _{2})=-4.

La suite de la méthode est celle de Brahmagupta. La méthode chakravala permet maintenant de résoudre sans tâtonnement et avec un minimum de calcul le défi de Fermat.

Exemple de Narayana

Ce deuxième exemple est aussi extrait du Siddhanta Siroman de Bhāskara II, annoté par Narayana. Pour n = 103, m₀ = 10. L'entier m₁ est ensuite choisi congru à –10 modulo N(α₁) = N(10 + √103) = 10² – 103 = –3. Comme 8 < √103 < 11 et 11² – 103 = 18 < 103 – 8², on obtient m₁ = 11 et

\alpha _{2}={\frac {10\times 11+103}{3}}+{\frac {10+11}{3}}{\sqrt {103}}=71+7{\sqrt {103}}\quad {\text{et}}\quad {\mathcal {N}}(\alpha _{2})=-6.

On choisit ensuite m₂ congru à –11 modulo 6. Comme 7 < √103 < 13 et 103 – 7² = 54 < 13² – 103, on obtient m₂ = 7 — remarquons à cette occasion que « minimiser |m² – n| » ne coïncide pas toujours avec « minimiser |m – $\sqrt n$ | » — puis

\alpha _{3}=203+20{\sqrt {103}}\quad {\text{et}}\quad {\mathcal {N}}(\alpha _{3})=9.

Puis, modulo 9, m₃ doit être congru à –7. Pour minimiser |N(β₃)|, il faut choisir m₃ égal à 11. On obtient

\alpha _{4}=477+47{\sqrt {103}}\quad {\text{et}}\quad {\mathcal {N}}(\alpha _{4})=2.

Le calcul de Brahmagupta permet de conclure : la valeur cherchée est

{\frac {\alpha _{4}^{2}}{2}}={\frac {(477+47{\sqrt {103}})^{2}}{2}}=227\,528+22\;419{\sqrt {103}}.

Non-unicité

L'exemple suivant montre que le nombre α_j+1 défini à partir de α_j n'est pas toujours unique : pour n = 58, α₁ est égal à 8 + √58, de norme 6 puis, pour m₁ congru à –2 modulo 6, le minimum de |m₁² – 58| est 42, atteint pour les deux valeurs 4 et 10 de m₁. Les deux valeurs correspondantes pour α₂ sont 15 + 2√58, de norme –7, et 23 + 3√58, de norme 7. Cependant, pour la première on trouve ensuite m₂ = 10 et pour la seconde, m₂ = 4 donc pour les deux, α₃ = 38 + 5√58, de norme –6, puis m₃ = 8 et α₄ = 99 + 13√58, de norme –1. La bifurcation n'était donc que passagère et les deux suites donnent la même solution.

Démonstrations associées à l'apport de Bhāskara II

Lemme

Un lemme démontre l'existence de la suite utilisée par Bhāskara II, sachant que si k et b sont des nombres premiers entre eux alors pour tout entier a, il existe des entiers m pour lesquels a + bm est divisible par k. En effet, en résolvant l'identité de Bézout — ce que les Indiens savaient déjà faire avec l'algorithme d'Euclide — on trouve des entiers v pour lesquels 1 – bv est multiple de k, et il suffit alors de poser m = –av.

Soient a, b premiers entre eux et m, n deux entiers quelconques. On pose k = a² – nb², c = am + bn et d = a + bm.
Si d est multiple de k alors c aussi, et les deux entiers c/k et d/k sont premiers entre eux.

Ce lemme est immédiat en remarquant que ad – bc = k et que b est premier avec k. Appliqué — avec les notations du § « Principe de la méthode » — à a = a_j et b = b_j, il montre qu'à chaque étape de la construction de la suite (α_j), si m_j est choisi selon la méthode indiquée alors α_jβ_j est un multiple de N(α_j), α_j+1 est un élément de A et a_j+1 et b_j+1 sont premiers entre eux, ce qui permet d'itérer la construction.

On peut remarquer de plus que la contrainte (dans le choix de m_j) « a_j + b_jm divisible par N(α_j) » est équivalente à « m congru à –m_j–1 modulo N(α_j) ». En effet, b_j est premier avec N(α_j) et a_j + b_j(–m_j–1) est divisible par N(α_j) puisque φ(α_j)β_j–1 = ±N(α_j)φ(α_j–1).

Caractère cyclique

Une fois montré que la suite (α_j) est bien définie, étudions son comportement. Elle est « cyclique » en un certain sens. Plus précisément, en notant cl(α) la classe d'équivalence de α pour la relation « être associés » (c'est-à-dire multiple l'un de l'autre par un élément inversible — si bien que tous les éléments d'une classe ont même norme en valeur absolue), la suite (cl(α_j)) est périodique à partir d'un certain rang. Cette propriété est la conséquence immédiate de trois propositions :

La suite (|N(α_j)|) est majorée par $\sqrt n$ [17].

Pour tout réel C > 0, il n'existe qu'un nombre fini de classes d'équivalence de norme en valeur absolue inférieure à C.

Si, pour deux indices i et j, α_i = εα_j avec ε inversible dans A, alors α_i+1 = εα_j+1.

Démonstration

k_j := |N(α_j)| < $\sqrt n$ : montrons-le par récurrence. On a bien k₀ = 1 < $\sqrt n$ . Supposons que k_j < $\sqrt n$ . Alors, il existe un entier m (nécessairement positif) tel que m < $\sqrt n$ < m + k_j et tel que m_j soit égal à m ou à m + k_j, selon que n – m² est inférieur ou supérieur à (m + k_j)² – n, autrement dit selon que m² + k_jm + k_j²/2 – n est positif ou négatif. Par comparaison de m avec la racine positive de ce polynôme du second degré, on en déduit facilement que dans les deux cas, |m_j² – n| ≤ k_j $\sqrt n - k j 2 /4$ < k_j $\sqrt n$ , d'où k_j+1 = |m_j² – n|/k_j < $\sqrt n$ .
Il n'existe qu'un nombre fini de classes d'équivalences de norme en valeur absolue inférieure à C : il suffit de montrer que pour tout entier N > 0, il n'existe qu'un nombre fini de classes de norme en valeur absolue égale à N. Pour cela, remarquons d'abord que deux éléments ont même classe si et seulement si l'idéal principal qu'ils engendrent est le même, et que tout idéal engendré par un élément dont la valeur absolue de la norme vaut N est un sous-groupe additif de A contenant NA. Il suffit donc de prouver que les sous-groupes additifs de A contenant NA sont en nombre fini. Or ils sont en bijection avec les sous-groupes du groupe quotient A/NA, qui est fini (de cardinal N²), ce qui conclut.
Si α_i = εα_j avec ε inversible dans A alors α_i+1 = εα_j+1 car |N(α_i)| = |N(α_j)| et les β divisibles par φ(α_i) — qui sont les mêmes que ceux divisibles par φ(α_j) — vérifient α_iβ = εα_jβ.

Ces propriétés ne démontrent que la périodicité à partir d'un certain rang. Le paragraphe suivant montre que ce rang est 0.

Structure de la suite

Le fait que la suite soit périodique n'indique a priori pas qu'elle atteint un point de norme égale à 1 en valeur absolue. Tel est pourtant toujours le cas :

Il existe un indice j > 0 tel que N(α_j) = ±1 (donc N(α_2j) = 1).

La suite (cl(α_k)) forme un « palindrome à conjugaison près » : cl(α_j–1) = cl(φ(α₁)), cl(α_j–2) = cl(φ(α₂)), etc.

Démonstration partielle

Soient B l'ensemble des éléments a + b $\sqrt n$ de A pour lesquels a et b sont premiers entre eux, et ψ la fonction de B dans B définie par : à un élément α de B on associe un élément β de forme m + $\sqrt n$ avec m entier naturel tel que βα soit un multiple de la norme de α, de norme minimale (on a vu plus haut qu'il pouvait y en avoir deux : on peut par exemple[18] choisir systématiquement dans ce cas celui qui correspond à la plus petite des deux valeurs de m), puis on pose ψ(α) = αβ/|N(α)|. Le lemme et le paragraphe précédent montrent que l'application ψ est bien définie et que

\forall k\in \mathbb {N} ,\quad \psi (\alpha _{k})=\alpha _{k+1}.

Cette fonction possède une symétrie par rapport à la fonction φ :

La propriété suivante est vérifiée :

\forall \alpha ,\gamma \in B\quad \psi (\alpha )=\gamma \Rightarrow \psi (\varphi (\gamma ))=\pm \varphi (\alpha ).

Plus précisément : ψ(φ(γ)) = ε₁ε₂φ(α), où ε₁ (resp. ε₂) désigne le signe de la norme de α (resp. γ).

En effet, si α possède pour image par ψ la valeur γ, il existe un unique élément β de la forme m + $\sqrt n$ avec m entier naturel tel que

\gamma ={\frac {\alpha \beta }{|{\mathcal {N}}(\alpha )|}}=\epsilon _{1}{\frac {\alpha \beta }{\alpha \varphi (\alpha )}}=\epsilon _{1}{\frac {\beta }{\varphi (\alpha )}}\quad {\text{et}}\quad (1)\quad \varphi (\alpha )=\epsilon _{1}{\frac {\beta }{\gamma }}=\epsilon _{1}\epsilon _{2}{\frac {\varphi (\gamma )\beta }{|{\mathcal {N}}(\varphi (\gamma ))|}}.

L'élément β est bien de la forme m + $\sqrt n$ avec m entier naturel tel que βφ(γ) est un multiple de la norme de φ(γ), car φ(α) appartient à A. Soit β' un élément vérifiant ces propriétés et de norme inférieure à β, l'égalité γ = αβ'/N(β') montre que β' est de norme supérieure à β. On en déduit que les normes de β et β' sont égales et son caractère minimal est vérifié. L'égalité (1) montre alors que ε₁ε₂φ(α) est bien l'image de φ(γ) par ψ. La proposition est démontrée.

On en déduit que la fonction ψ est une bijection de B dans B.

Il existe un indice j > 0 tel que N(α_j) = ±1 :

D'après le § « Caractère cyclique » précédent, il existe deux indices 0 ≤ k < k + j tels que cl(α_k+j) = cl(α_k). Par la bijectivité de ψ démontrée ci-dessus, on en déduit que cl(α_j) = cl(α₀), c'est-à-dire que N(α_j) = ±1. De plus, comme b_j > 0, la solution trouvée n'est pas triviale.

La suite (α_j) forme un palindrome :

De cl(ψ(α_j–1)) = cl(φ(α₀)) on déduit par récurrence, par la propriété de ψ démontrée ci-dessus, que cl(ψ(α_j–1–k)) = cl(φ(α_k)).

Fraction continue

La méthode chakravala est très proche de celle de la fraction continue. Ici, l'objectif est d'approcher la racine de n par une expression optimale de la nature suivante :

{\sqrt {n}}=f_{0}+{\cfrac {1}{f_{1}+{\cfrac {1}{f_{2}+{\frac {1}{f_{3}+\,\cdots }}}}}}\quad {\text{avec}}\quad f_{i}\in \mathbb {Z} .

Approche théorique

Soit n un entier naturel non carré. On définit par récurrence deux suites, (f_j)_j≥0 à valeurs dans ℤ et (θ_j)_j≥–1 dans ℚ( $\sqrt n$ ) par : θ_–1 = $\sqrt n$ et pour tout j ≥ –1, f_j+1 est l'entier (ou le plus petit des deux entiers) pour lequel |N(θ_j – f_j+1)| est minimal et θ_j+1 = 1/(θ_j – f_j+1). Le fait que $\sqrt n$ soit irrationnel montre que θ_j est toujours irrationnel ; les suites (f_j) et (θ_j) sont ainsi bien définies.

Cette définition diffère de la traditionnelle fraction continue car ici, les θ_j et les f_j ne sont pas nécessairement positifs.

Soient (h_j) et (k_j) les suites des numérateurs et dénominateurs des réduites.

Si (α_j) et (β_j) désignent les suites définies précédemment, les égalités suivantes sont vérifiées (avec, par convention, m_–1 = 0) :
$\forall j\in \mathbb {N} \quad f_{j}=(-1)^{j}{\frac {m_{j-1}+m_{j}}{{\mathcal {N}}(\alpha _{j})}},\quad \theta _{j}=(-1)^{j+1}{\frac {\varphi (\beta _{j})}{{\mathcal {N}}(\alpha _{j})}}\quad {\text{et}}\quad \alpha _{j}=\pm (h_{j-1}+k_{j-1}{\sqrt {n}}).$

Ainsi, le caractère cyclique et la propriété de palindrome de cette fraction continue permettent de démontrer ceux de la méthode chakravala, et inversement. Si l'algorithme récursif impose aux β_j d'être de norme systématiquement négative, alors les démonstrations de l'article restent valables et les fractions continues associées correspondent à la définition usuelle.

Démonstration

f_j = (–1)^j(m_j–1 + m_j)/N(α_j) et θ_j = (–1)^j+1N(α_j)/φ(β_j) : montrons ce résultat par récurrence sur j. Par définition, f₀ = m₀ et $\theta _{0}={\frac {1}{{\sqrt {n}}-m_{0}}}={\frac {1}{-\varphi (\beta _{0})}}=-{\frac {{\mathcal {N}}(\alpha _{0})}{\varphi (\beta _{0})}}.$ Supposons le résultat établi à l'ordre j – 1 et montrons qu'il est vrai à l'ordre j. $(-1)^{j}\left(f_{j}+{\frac {1}{\theta _{j}}}\right)=(-1)^{j}\theta _{j-1}={\frac {{\mathcal {N}}(\alpha _{j-1})}{\varphi (\beta _{j-1})}}={\frac {{\mathcal {N}}(\alpha _{j-1})\beta _{j-1}}{\varphi (\beta _{j-1})\beta _{j-1}}}={\frac {{\mathcal {N}}(\alpha _{j-1})\beta _{j-1}}{{\mathcal {N}}(\pm \alpha _{j}\varphi (\alpha _{j-1}))}}={\frac {\beta _{j-1}}{{\mathcal {N}}(\alpha _{j})}}={\frac {m_{j-1}+m_{j}}{{\mathcal {N}}(\alpha _{j})}}-{\frac {\varphi (\beta _{j})}{{\mathcal {N}}(\alpha _{j})}}$ et par choix de β_j, l'entier f = (m_k–1 + m_k)/N(α_k) est celui pour lequel la valeur absolue de la norme de (β_j–1/N(α_j)) – f est minimale. Il est donc égal à (–1)^jf_j et le reste, –φ(β_j)/N(α_j), à (–1)^j/θ_j.
α_j = ±(h_j–1 + k_j–1 $\sqrt n$ ) : en notant ε_j le signe de N(α_j) on a, pour tout j > 0 : $(-1)^{j}f_{j}{\mathcal {N}}(\alpha _{j})=m_{j}+m_{j-1}=\beta _{j}+\varphi (\beta _{j-1})=\varepsilon _{j}\alpha _{j+1}\varphi (\alpha _{j})+\varepsilon _{j-1}\varphi (\alpha _{j})\alpha _{j-1}$ c'est-à-dire $(-1)^{j}f_{j}\alpha _{j}=\varepsilon _{j}\alpha _{j+1}+\varepsilon _{j-1}\alpha _{j-1}$ ou encore, en posant $\varepsilon '_{j}=(-1)^{j(j-1)/2}\prod _{0\leq i<j}\varepsilon _{i}~:\quad \varepsilon '_{j+1}\alpha _{j+1}=f_{j}\varepsilon '_{j}\alpha _{j}+\varepsilon '_{j-1}\alpha _{j-1}.$ Les deux suites (ε'_jα_j) et (h_j–1 + k_j–1 $\sqrt n$ ) vérifient donc la même relation de récurrence d'ordre 2. Comme elles coïncident pour j = 0 et pour j = 1, elles sont égales.

Méthode de calcul

L'approche par les fractions continues offre un enrichissement de la méthode algorithmique précédente pour l'équation de Pell-Fermat ou la détermination de la fraction continue. Illustrons ces méthodes à l'aide de l'exemple n = 313 et montrons comment Brouncker pouvait effectivement résoudre ce défi en une heure ou deux. Par définition, m_–1 = 0 et N(α₀) = 1 puis, pour tout indice j ≥ 0 :

m_j est congru à –m_j–1 modulo N(α_j) et son carré est le plus proche possible de 313 ;
N(β_j) = m_j² – 313 ;
N(α_j+1) = N(β_j)/N(α_j).

On trouve ainsi m₀ = 18, N(β₀) = 11, N(α₁) = 11, m₁ = 15, N(β₁) = –88, N(α₂) = –8, etc.

On en déduit les f_j par la formule du paragraphe précédent : f₀ = m₀ = 18, f₁ = –(18 + 15)/11 = –3, etc.

Cette approche permet d'éviter les grands nombres, sauf pour h_j–1 et k_j–1, dont a_j et b_j sont les valeurs absolues. On les calcule pour j ≥ 1 par la formule de récurrence à partir des f_j.

En outre, si les normes de deux α consécutifs sont égales ou opposées, il résulte aussitôt de l'algorithme que les β et les normes des α forment un palindrome. Plus précisément : si N(α_r+1) = εN(α_r) avec ε = ±1 alors, par récurrence sur k, β_r+k = β_r–k et N(α_r+k+1) = εN(α_r–k). Par conséquent, α_2r+1 est alors inversible (de norme ε) et — d'après l'expression de la suite des α en fonction de celle des β — égal à ε^rα_r+1/φ(α_r) = ε^rα_rα_r+1/N(α_r).

On construit ainsi le tableau suivant, où l'on constate que la situation mentionnée survient pour r = 6 et ε = –1 :

j	m_j	N(β_j) = m_j² – 313	N(α_j) = N(β_j–1)/N(α_j–1)	f_j = (–1)^j(m_j + m_j–1)/N(α_j)	h_j–1 = f_j–1h_j–2 + h_j–3	k_j–1 = f_j–1k_j–2 + k_j–3
0	18	11	1	18	1	0
1	15	–88	11	–3	18	1
2	17	–24	–8	–4	–53	–3
3	19	48	3	–12	230	13
4	13	–144	16	2	–2 813	–159
5	14	–117	–9	3	–5 396	–305
6	12	–169	13	2	–19 001	–1 074
7	14	–117	–13	2	–43 398	–2 453

La suite des normes des α est donc 1, 11, –8, 3, 16, –9, 13, –13, 9, –16, –3, 8, –11, –1, ce qui fournit un élément de norme –1 :

\alpha _{13}={\frac {\alpha _{6}\alpha _{7}}{13}}=(19\,001+1\,074{\sqrt {313}})(43\,398+2\,453{\sqrt {313}})=126\,862\,368+7\;170\;685{\sqrt {313}}.

(Ce nombre est d'ailleurs aussi égal à α₃²α₅/9.) Il ne reste plus qu'à l'élever au carré pour obtenir la solution recherchée :

\alpha _{26}=\alpha _{13}^{2}=(126\,862\,368+7\;170\;685{\sqrt {313}})^{2}=32\;188\;120\;829\;134\;849+1\;819\;380\;158\;564\;160{\sqrt {313}}.

La méthode chakravala permet ainsi de résoudre à la main ce type de calcul. La même démarche, sans le calcul des colonnes h_j–1 et k_j–1, inutile pour cet objectif, permet de déterminer une fraction continue de √313. Rechercher la solution telle que la suite (f_k) ne comporte que des valeurs positives suppose de restreindre le choix aux m_k inférieurs ou égaux à 17. On trouverait alors la fraction continue de cet irrationnel quadratique : [17, 1, 2, 4, 11, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 1, 11, 4, 2, 1, 34][19].

Notes et références

(en) Clas-Olof Selenius, « Rationale of the chakravāla process of Jayadeva and Bhāskara II », Historia Mathematica, vol. 2,‎ 1975, p. 167-184 (lire en ligne).
(en) Victor J. Katz et Karen Parshall, Taming the Unknown, PUP, 2014, 504 p. (ISBN 978-1-4008-5052-5, lire en ligne), p. 122-123.
Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres : L'intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul, Robert Laffont, 1994 (ISBN 978-2-70284212-6).
Une analyse précise de son œuvre mathématique est disponible dans la thèse de doctorat d'A. Keller, Un commentaire indien du VII^e siècle – Bhāskara et le ganita-pāda de l’Āryabhatīya [lire en ligne].
(en) John Stillwell, Mathematics and Its History [détail des éditions], 2010, p. 75-80.
(en) B. L. van der Waerden, Pell's Equation in Greek and Hindu Mathematics, Russ. Math Surveys 31 (5), 1976, p. 210-225
(en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Pell's equation », sur MacTutor, université de St Andrews.
Voir la page Pierre Fermat sur le site de la commune de Beaumont-de-Lomagne.
Œuvres de Fermat, p. 334.
Ces informations sont tirées des échanges épistolaires entre les différents acteurs, publiés dans (la) John Wallis, Commercium epistolicum de quæstionibus quibusdam mathematicis nuper habitum Oxonii : Excudebat A. Lichfield, Impensis Tho. Robinson, 1658
Joseph-Alfred Serret, Œuvres de Lagrange, vol. I, p. 671-731 : « Solution d'un problème d'arithmétique ».
(en) A. A. Krishnaswami Ayyangar, « New light on Bhaskara's Chakravala or cyclic method of solving indeterminate equations of the second degree in two variables », J. Indian Math. Soc., vol. 18,‎ 1929-30, p. 225-248 (lire en ligne).
Ce cas, appliqué à α = (10 + √92)²/4 = 48 + 5√92, de norme 8²/4² = 4, permet à Brahmagupta de résoudre son premier exemple : Stillwell, p. 77.
(en) Harold Edwards, Fermat's Last Theorem : A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, Springer, coll. « GTM » (n^o 50), 2000, 3^e éd., 407 p. (ISBN 978-0-387-95002-0, lire en ligne), chap. I, § 9 (« Pell's equation »), p. 25-36.
Selenius 1975 ajoute cette valeur absolue au dénominateur, tout en précisant à deux reprises que Bhāskara ne le faisait pas. Edwards 2000 intègre cette valeur absolue dans sa formulation, sans même cette précision.
(en) Stillwell, p. 79.
La méthode chakravala est, en cela aussi, supérieure à celles d'Euler et de Brouncker : en plus d'atteindre le résultat en moins d'étapes, elle met en jeu des calculs sur des nombres plus petits (Selenius 1975).
Edwards 2000, p. 35.
Suite A040295 de l'OEIS.

Voir aussi

Lien externe

(en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Indian Mathematics: Redressing the balance, 8 VI. Pell's equation », sur MacTutor, université de St Andrews.

Bibliographie

(en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. II, Diophantine analysis
Jean Trignan, Introduction aux problèmes d'approximation : fractions continues, différences finies, Éditions du Choix, 1994 (ISBN 978-2-909028-16-3)

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