William Brouncker

En 1655, Brouncker communique sans démonstration à son ami Wallis un développement de 4/π[1] dont la forme est d'une nouveauté déroutante[2]. Ce dernier l'intègre aussitôt à son ouvrage[3], avec une tentative[4] de justification. Depuis, de nombreuses représentations en fractions continues généralisées de kπ, k/π et k/(π² – n) ont été obtenues[5].

Le développement de Brouncker est :

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\dfrac {1^{2}}{2+{\dfrac {3^{2}}{2+{\dfrac {5^{2}}{2+{\dfrac {7^{2}}{2+{\dfrac {9^{2}}{2+{\dfrac {11^{2}}{2\ +\ ...}}}}}}}}}}}}.}$

Les valeurs de ses réduites sont :

• ${\displaystyle 1+{1^{2} \over 2}={3 \over 2}}$

• ${\displaystyle {1+{1^{2} \over 2+{3^{2} \over 2}}}={15 \over 13}}$

• ${\displaystyle {1+{1^{2} \over 2+{3^{2} \over 2+{5^{2} \over 2}}}}={105 \over 76}}$
• etc.

et sont exactement[6] les inverses des sommes partielles de la formule de Leibniz :

${\displaystyle {\pi \over 4}=1-{1 \over 3}+{1 \over 5}-{1 \over 7}+...}$

• ${\displaystyle 1-{1 \over 3}={2 \over 3}}$

• ${\displaystyle 1-{1 \over 3}+{1 \over 5}={13 \over 15}}$

• ${\displaystyle 1-{1 \over 3}+{1 \over 5}-{1 \over 7}={76 \over 105}}$
• etc.

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