Norme (théorie des corps)

Du lien entre la norme d'un élément et son polynôme minimal, on déduit immédiatement :

• La norme d'un élément algébrique séparable sur K est égale au produit de ses éléments conjugués.

Plus généralement[2] :

• Si L est séparable sur K et si S désigne l'ensemble des K-plongements de L dans une sur-extension normale alors, pour tout élément α de L,

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in S}\sigma (\alpha ).}$

Démonstration

D'après le théorème de l'élément primitif, L est de la forme K[m] pour un certain élément m. Pour α = m, la formule n'est autre que le cas particulier précédent. Elle s'étend à tout élément α de L, car α est de la forme Q(m) pour un certain polynôme Q à coefficients dans K, si bien que φ_α = Q(φ_m) donc les racines de χ_α sont les images par Q de celles de χ_m et ainsi :

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in S}Q(\sigma (m))=\prod _{\sigma \in S}\sigma (Q(m))=\prod _{\sigma \in S}\sigma (\alpha ).}$

La norme relative hérite de la multiplicativité du déterminant :

La norme relative du produit de deux éléments de L est égale au produit des normes relatives de ces deux éléments :

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{L/K}(\alpha _{1})~{\mathcal {N}}_{L/K}(\alpha _{2})={\mathcal {N}}_{L/K}(\alpha _{1}\alpha _{2})}$.

Si L est de degré n sur K[α] alors N_L/K(α) = N(α)ⁿ. Plus généralement, le calcul du déterminant d'une matrice diagonale par blocs donne :

Si L est de degré n sur une extension intermédiaire F alors, pour tout élément β de F :

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{L/K}(\beta )={\mathcal {N}}_{F/K}(\beta )^{n}={\mathcal {N}}_{F/K}(\beta ^{n})}$.

En prenant pour F la fermeture séparable de K dans L, ceci permet de généraliser le cas séparable ci-dessus[3] :

Si n est le degré d'inséparabilité de L sur K et si S désigne l'ensemble des K-plongements de L dans une sur-extension normale alors, pour tout élément α de L,

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in S}\sigma (\alpha )^{n}}$.

Pour une extension intermédiaire F quelconque, en appliquant cette formule à la fois à L/K, L/F et F/K, on peut alors décrire la norme relative de tout élément de L, par la formule de composition des normes[4] :

Pour toute extension intermédiaire F et tout élément α de L :

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{L/K}(\alpha )={\mathcal {N}}_{F/K}({\mathcal {N}}_{L/F}(\alpha ))}$.

Il est possible aussi de démontrer cette formule sans passer par des produits indexés par S, grâce à la formule de composition pour les déterminants[5].

Dans toute cette section, K est le corps ℚ des rationnels donc l'extension finie L est un corps de nombres. On considère l'anneau O_L des entiers algébriques de L. Un cas particulier simple est étudié dans l'article « Entier quadratique ».

• La norme d'un entier algébrique et sa norme relative, pour tout corps de nombres L qui le contient, sont des entiers relatifs.
  En effet, au signe près, la norme de α est égale au coefficient constant de son polynôme minimal – qui pour un entier algébrique est à coefficients entiers – et la norme relative en est une puissance.

Dans cette situation et si α est non nul, sa norme relative est aussi (par définition) le déterminant, dans une base B du ℤ-module O_L, de la base αB du sous-module αO_L. Les matrices de changement de base de ces modules étant dans le groupe linéaire de ℤ, leurs déterminants valent ±1. Il est donc naturel d'étendre comme suit la définition de la norme relative à des idéaux :

• La norme d'un idéal non nul J de O_L est la valeur absolue du déterminant, dans une base du ℤ-module O_L, d'une base du sous-module J.

C'est donc un entier naturel et, si J est principal, cet entier est égal à la valeur absolue de la norme relative d'un générateur.

On démontre alors la caractérisation annoncée :

• Pour tout idéal non nul J de O_L, le quotient O_L/J est fini, de cardinal égal à la norme de J.

(Cette propriété peut s'interpréter géométriquement en disant que le nombre de points du réseau O_L qui appartiennent à un domaine fondamental du sous-réseau J est égal au volume relatif de ce domaine fondamental : cf. § « Covolume » de l'article « Réseau (géométrie) ». Le cas particulier des entiers quadratiques, plus simple, est étudié dans l'article « Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique ».)

En particulier si P est un idéal premier non nul alors O_L/P est un anneau intègre fini donc un corps fini F_q, N(P) = q est une puissance d'un nombre premier, et le théorème de Lagrange sur les groupes donne aussitôt[6] :

Petit théorème de Fermat[7] - [8] pour l'anneau des entiers d'un corps de nombres — Pour tout idéal premier non nul P de O_L et tout élément α de O_L,${\displaystyle \alpha ^{|N(P)|}\equiv \alpha \mod P}$car si α n'appartient pas à P alors α^{|N(P)| – 1} ≡ 1 mod P.

On démontre de même[6], plus généralement, un analogue du théorème d'Euler.

La propriété de multiplicativité est conservée :

• Soit J₁ et J₂ deux idéaux non nuls de O_L, l'égalité suivante est vérifiée :${\displaystyle {\mathcal {N}}_{L/\mathbb {Q} }(J_{1}\cdot J_{2})={\mathcal {N}}_{L/\mathbb {Q} }(J_{1})~{\mathcal {N}}_{L/\mathbb {Q} }(J_{2})}$.

Forme trace

• Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail de l’édition]
• Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, 1970 [détail des éditions]

Bas Edixhoven et Laurent Moret-Bailly, Théorie algébrique des nombres, cours de maîtrise de mathématiques, université de Rennes 1, 2004 (lire en ligne)