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Diagramme de Hasse

En mathĂ©matiques, le diagramme de Hasse, du nom du mathĂ©maticien allemand Helmut Hasse, est une reprĂ©sentation visuelle d'un ordre fini. Similaire Ă  la reprĂ©sentation habituelle d’un graphe sur papier, il en facilite la comprĂ©hension.

Dans un diagramme de Hasse :

  • Les Ă©lĂ©ments ordonnĂ©s sont reprĂ©sentĂ©s par des points.
  • La relation entre deux Ă©lĂ©ments est reprĂ©sentĂ©e par un segment entre deux points.
  • Si un Ă©lĂ©ment x est ≀ Ă  un autre Ă©lĂ©ment y, alors le point reprĂ©sentant x est placĂ© plus bas que celui pour y. Ainsi, les segments n'ont pas besoin d'ĂȘtre flĂ©chĂ©s pour avoir leur orientation dĂ©crite.
  • Afin d'Ă©viter de surcharger le schĂ©ma, les relations d’ordre possibles ne sont pas toutes reprĂ©sentĂ©es. Elles sont limitĂ©es Ă  la rĂ©duction rĂ©flexive transitive :
    • Lorsque x < y, s'il existe z tel que  x < z < y, alors aucun segment ne doit lier x Ă  y.
    • Les boucles d’un Ă©lĂ©ment vers lui-mĂȘme ne sont pas reprĂ©sentĂ©es.
  • On veille autant que possible Ă  ne pas croiser les segments.

À noter qu'en cas d’ordre infini, on peut quand mĂȘme utiliser le diagramme de Hasse et reprĂ©senter une restriction finie de l’ordre.

Exemples de diagramme de Hasse

Exemple de diagramme de Hasse.
Exemple de diagramme de Hasse.
  • Pour l'ensemble des diviseurs de 60, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}, ordonnĂ©s par la relation de divisibilitĂ©, on obtient le diagramme de Hasse suivant :
Exemple de diagramme de Hasse.
Exemple de diagramme de Hasse.
  • L’ensemble S = A âˆȘ B  âˆȘ C  âˆȘ D,  oĂč A, B, C et D sont des quadruplets de boolĂ©ens reprĂ©sentant les combinaisons possibles des parties de S, tels que,
A = { 1000={a},   1100={a, b},   1010={a, c},  1001={a, d},   1110={a, b, c},  1101={a, b, d},  1011={a, c, d},  1111={a, b, c, d} }
B = { 0100={b},   1100={a, b},   0110={b, c},   0101={b, d},   1110={a, b, c},  1101={a, b, d},  0111={b, c, d},  1111={a, b, c, d} }
C = { 0010={c},   1010={a, c},   0110={b, c},   0011={c, d},   1110={a, b, c},  1011={a, c, d},  0111={b, c, d},  1111={a, b, c, d} }
D = { 0001={d},   1001={a, d},   0101={b, d},   0011={c, d},   1101={a, b, d},  1011={a, c, d},  0111={b, c, d},  1111={a, b, c, d} }
S = { 0000={}, 1000={a}, 0100={b}, 0010={c}, 0001={d}, 1100={a, b}, 1010={a, c}, 1001={a, d}, 0110={b, c}, 0101={b, d}, 0011={c, d}, 1110={a, b, c}, 1101={a, b, d}, 1011={a, c, d}, 0111={b, c, d}, 1111={a, b, c, d} }

Ainsi, à partir des seize quadruplets ordonnés par la relation d'inclusion, on obtient le diagramme de Hasse suivant :

Ces quatre figures reprĂ©sentent toutes le mĂȘme diagramme de Hasse mais sous des aspects distincts afin de mettre en Ă©vidence diffĂ©rentes propriĂ©tĂ©s :

  1. Le premier diagramme illustre le fait que l'ensemble des parties (de S) est un ensemble partiellement ordonné gradué : le rang de chaque élément (partie de S) correspond à sa hauteur dans le diagramme ;
  2. Le deuxiĂšme diagramme respecte Ă©galement cette correspondance entre rang et hauteur, mais y ajoute par Ă©tirement de certaines arĂȘtes une mise en valeur du tesseract comme union de deux cubes (en interprĂ©tant les quadruplets de boolĂ©ens comme des coordonnĂ©es en dimension 4, chacun correspondant alors Ă  un sommet de l'hypercube) ;
  3. Le troisiÚme diagramme met l'accent sur la symétrie interne de la structure ;
  4. Le quatriÚme diagramme présente des sommets disposés de maniÚre analogue aux coefficients d'une matrice carrée d'ordre 4.

Voir aussi

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