Diagramme de Hasse
En mathĂ©matiques, le diagramme de Hasse, du nom du mathĂ©maticien allemand Helmut Hasse, est une reprĂ©sentation visuelle d'un ordre fini. Similaire Ă la reprĂ©sentation habituelle dâun graphe sur papier, il en facilite la comprĂ©hension.
Dans un diagramme de Hasse :
- Les éléments ordonnés sont représentés par des points.
- La relation entre deux éléments est représentée par un segment entre deux points.
- Si un Ă©lĂ©ment x est †à un autre Ă©lĂ©ment y, alors le point reprĂ©sentant x est placĂ© plus bas que celui pour y. Ainsi, les segments n'ont pas besoin d'ĂȘtre flĂ©chĂ©s pour avoir leur orientation dĂ©crite.
- Afin d'Ă©viter de surcharger le schĂ©ma, les relations dâordre possibles ne sont pas toutes reprĂ©sentĂ©es. Elles sont limitĂ©es Ă la rĂ©duction rĂ©flexive transitive :
- Lorsque x < y, s'il existe z tel que x < z < y, alors aucun segment ne doit lier x Ă y.
- Les boucles dâun Ă©lĂ©ment vers lui-mĂȘme ne sont pas reprĂ©sentĂ©es.
- On veille autant que possible Ă ne pas croiser les segments.
Ă noter qu'en cas dâordre infini, on peut quand mĂȘme utiliser le diagramme de Hasse et reprĂ©senter une restriction finie de lâordre.
Exemples de diagramme de Hasse
- Un ensemble ordonné de onze éléments dont les trois maximums sont les trois majorants et l'élément minimum est à la fois l'unique minorant et la borne inférieure de l'ensemble.
Exemple de diagramme de Hasse.
- Pour l'ensemble des diviseurs de 60, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}, ordonnés par la relation de divisibilité, on obtient le diagramme de Hasse suivant :
Exemple de diagramme de Hasse.
- Lâensemble S = A âȘ B âȘ C âȘ D, oĂč A, B, C et D sont des quadruplets de boolĂ©ens reprĂ©sentant les combinaisons possibles des parties de S, tels que,
- A = { 1000={a}, 1100={a, b}, 1010={a, c}, 1001={a, d}, 1110={a, b, c}, 1101={a, b, d}, 1011={a, c, d}, 1111={a, b, c, d} }
B = { 0100={b}, 1100={a, b}, 0110={b, c}, 0101={b, d}, 1110={a, b, c}, 1101={a, b, d}, 0111={b, c, d}, 1111={a, b, c, d} }
C = { 0010={c}, 1010={a, c}, 0110={b, c}, 0011={c, d}, 1110={a, b, c}, 1011={a, c, d}, 0111={b, c, d}, 1111={a, b, c, d} }
D = { 0001={d}, 1001={a, d}, 0101={b, d}, 0011={c, d}, 1101={a, b, d}, 1011={a, c, d}, 0111={b, c, d}, 1111={a, b, c, d} } - S = { 0000={}, 1000={a}, 0100={b}, 0010={c}, 0001={d}, 1100={a, b}, 1010={a, c}, 1001={a, d}, 0110={b, c}, 0101={b, d}, 0011={c, d}, 1110={a, b, c}, 1101={a, b, d}, 1011={a, c, d}, 0111={b, c, d}, 1111={a, b, c, d} }
Ainsi, à partir des seize quadruplets ordonnés par la relation d'inclusion, on obtient le diagramme de Hasse suivant :
Ces quatre figures reprĂ©sentent toutes le mĂȘme diagramme de Hasse mais sous des aspects distincts afin de mettre en Ă©vidence diffĂ©rentes propriĂ©tĂ©s :
- Le premier diagramme illustre le fait que l'ensemble des parties (de S) est un ensemble partiellement ordonné gradué : le rang de chaque élément (partie de S) correspond à sa hauteur dans le diagramme ;
- Le deuxiĂšme diagramme respecte Ă©galement cette correspondance entre rang et hauteur, mais y ajoute par Ă©tirement de certaines arĂȘtes une mise en valeur du tesseract comme union de deux cubes (en interprĂ©tant les quadruplets de boolĂ©ens comme des coordonnĂ©es en dimension 4, chacun correspondant alors Ă un sommet de l'hypercube) ;
- Le troisiÚme diagramme met l'accent sur la symétrie interne de la structure ;
- Le quatriÚme diagramme présente des sommets disposés de maniÚre analogue aux coefficients d'une matrice carrée d'ordre 4.
Voir aussi
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