Éléments (Euclide)

Une des plus anciennes versions connues des Éléments : le P. Oxy. 29 (en) (fragment daté des environs de l'an 300, ou peut-être de l'an 100).

La méthode d'Euclide a consisté à fonder ses travaux sur des définitions, des « demandes » (postulats), des « notions ordinaires » (axiomes) et des propositions (problèmes résolus, au nombre de 470 au total dans les treize livres). Par exemple, le livre I contient 35 définitions (point, ligne, surface, etc.), cinq postulats et cinq notions ordinaires.

Codex Vaticanus 190.

Le succès des Éléments est dû principalement à sa présentation logique et organisée. L'utilisation systématique et efficace du développement des démonstrations à partir d'un jeu réduit d'axiomes incita à les utiliser comme livre de référence pendant des siècles.

Tout au long de l'Histoire, quelques controverses entourèrent les axiomes et les démonstrations d'Euclide. Néanmoins, les Éléments restent une œuvre fondamentale dans l'histoire des sciences et furent d'une influence considérable. Les scientifiques européens Nicolas Copernic, Johannes Kepler, Galileo Galilei et particulièrement Isaac Newton furent tous influencés par les Éléments et appliquèrent leur connaissance du livre à leurs propres travaux. Certains mathématiciens (Bertrand Russell, Alfred North Whitehead) et philosophes (Baruch Spinoza) ont également tenté d'écrire leurs propres Éléments, des structures déductives axiomatiques appliquées à leurs disciplines respectives.

Des cinq postulats énoncés dans le livre I, le dernier, dont on déduit le postulat des parallèles : « en un point extérieur à une droite, ne passe qu'une unique droite qui lui est parallèle », a toujours semblé moins évident que les autres. Plusieurs mathématiciens soupçonnèrent qu'il pouvait être démontré à partir des autres postulats, mais toutes les tentatives pour ce faire échouèrent. Vers le milieu du XIX^e siècle, il fut démontré qu'une telle démonstration n'existe pas, que le cinquième postulat est indépendant des quatre autres et qu'il est possible de construire des géométries non euclidiennes cohérentes en prenant sa négation.

Des traces écrites de notions de longueurs et d'orthogonalité apparaissent en Mésopotamie à une période située entre 1900 et 1600 av. J.-C. On y trouve de nombreuses traces d'une connaissance du « théorème de Pythagore » au moins en tant que règle de calcul[2].

Bien que la plupart des théorèmes lui soient antérieurs, les Éléments étaient suffisamment complets et rigoureux pour éclipser les œuvres géométriques qui les ont précédés et peu de choses sont connues sur la géométrie pré-euclidienne. Par exemple, si on en croit le néoplatonicien Proclus (V^e siècle), Hippocrate de Chios fut, au V^e siècle av. J.-C., le premier auteur connu de la tradition ayant écrit des éléments de géométrie, mais ceux-ci ne nous sont pas parvenus[3].

Son auteur Euclide, actif autour de 300 av. J.-C., paraît avoir été influencé par Aristote (-384-322 av. J.-C.). Son histoire ainsi que celle de son traité sont mal connues.

L'ouvrage fut traduit en arabe après avoir été transmis aux Arabes par l'Empire byzantin, puis traduit en latin d'après les textes arabes (Adélard de Bath au XII^e siècle, repris par Campanus de Novare). Sa première édition[4] imprimée date de 1482 et le livre connut par la suite un nombre d'éditions estimé à plus de 1000, qui n'est très probablement dépassé que par la Bible[5] - [6]. Des copies du texte grec existent toujours, par exemple dans la bibliothèque du Vatican ou à la Bodleian Library à Oxford, ces manuscrits sont de qualité variable.

Les mathématiciens remarquèrent au fil du temps que les démonstrations d'Euclide nécessitaient des hypothèses additionnelles, non spécifiées dans le texte original, par exemple ce qui est devenu l'axiome de Pasch. David Hilbert a donné en 1899 un développement axiomatique de la géométrie euclidienne du plan et de l'espace dans ses Grundlagen der Geometrie (Les fondements de la géométrie), les axiomes sont explicités, et présentés de façon organisée. Hilbert dégage notamment le rôle des axiomes de parallélisme (structure affine), d'ordre et d'incidence (structure projective) et d'orthogonalité (structure « euclidienne »).

Les Éléments sont organisés comme suit :

• Les livres I à IV traitent de géométrie plane :
  • Le livre I énonce les propriétés de base de la géométrie : théorème de Pythagore, égalités angulaires et d'aires et parallélisme, somme des angles du triangle, les trois cas d'égalité des triangles.
  • Le livre II est couramment nommé livre de l'algèbre géométrique, parce qu'il est un livre de géométrie facile à interpréter comme de l'algèbre, ce qu'il n'est pas exactement mais il a été compris et utilisé en mathématiques arabes pour l'algèbre. En particulier, les théorèmes qu'il énonce correspondent en grande partie à nos identités remarquables. Un cas particulier d'un problème correspondant à une équation du second degré est également donné.
  • Le livre III traite du cercle et de ses propriétés : angle inscrit, puissance d'un point, tangente.
  • Le livre IV s'occupe de l'inscription et de la circonscription de triangles ou de polygones réguliers dans le cercle.

• Les livres V à X font intervenir les proportions :
  • Le livre V est le traité des proportions de grandeurs.
  • Le livre VI est celui de l'application des proportions à la géométrie : théorème de Thalès, figures semblables.
  • Le livre VII est consacré à l'arithmétique : divisibilité, nombres premiers, PGCD, PPCM.
  • Le livre VIII traite de l'arithmétique des proportions et des suites géométriques.
  • Le livre IX applique les précédents : infinité des nombres premiers, somme d'une suite géométrique, nombres parfaits.
  • Le livre X est une tentative de classification des grandeurs irrationnelles. on y trouve, dans certaines éditions anciennes, une démonstration de l'irrationalité de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, qui est considérée comme une interpolation tardive depuis au moins la fin du XIX^e siècle.

• Les livres XI à XIII traitent de géométrie dans l'espace :
  • Le livre XI généralise dans l'espace les livres I à VI : perpendicularité, parallélisme, volumes de parallélépipèdes.
  • Le livre XII compare ou calcule des aires et volumes en utilisant la méthode d'exhaustion : disque, cônes, pyramides, cylindres et sphère.
  • Le livre XIII est la généralisation du livre IV dans l'espace : section dorée, les cinq polyèdres réguliers inscrits dans une sphère.

Il existe deux livres apocryphes consacrés aux cinq corps platoniciens, qu'une partie de la tradition ancienne associe aux Éléments sous le nom de livre XIV et livre XV[7]. Ils sont donnés comme les livres I et II d'Hypsiclès et traduits par François Peyrard à la fin du dernier volume de son édition des œuvres d'Euclide[8]. Heath les donne en annexe de sa traduction.

• • le « livre XIV » est dû à Hypsiclès. Il donne des rapports entre surfaces et entre volumes pour un dodécaèdre et un icosaèdre inscrits dans une même sphère, résultats probablement dus à Apollonius[7].
  • le « livre XV » est de qualité très inférieure[7] - [9]. Son auteur se réfère à un certain Isidore, qui pourrait être Isidore de Milet, ce qui renvoie sa composition au VI^e siècle[7].

• (en) www.wilbourhall.org éditions et traductions numérisées des Éléments, dont l'édition bilingue grec-latin par Heiberg et Menge (de) de 1886, ainsi que d'ouvrages en rapport avec les Éléments (et autres œuvres d'Euclide).
• (en) Euclid's Elements adapté pour Internet par D. E. Joyce, à partir de la traduction de T.L. Heath.
• Odile Kouteynikoff, François Loget et Marc Moyon, « Corpus des Éditions Renaissantes des Éléments d’Euclide (1482–1606) », 2021
• (en) Menso Folkerts et Bill Casselman, « Euclid's Elements in the middle ages », liste des éditions d'Euclide au Moyen-âge.

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Britannica
  • Enciclopedia De Agostini
  • Gran Enciclopèdia Catalana
  • Larousse
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