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Théorème de Fermat sur les triangles rectangles

Le théorème de Fermat sur les triangles rectangles est le résultat suivant[1] - [2] de non-existence :

l'aire d'un triangle rectangle de côtés entiers ne peut pas être un carré parfait.

Deux triangles rectangles dont les deux côtés du triangle bleu sont égaux au côté et à l'hypoténuse du triangle jaune. Selon le théorème de Fermat sur les triangles rectangles, il n'est pas possible que les quatre longueurs a, b, c, et d, soient des entiers.

Il a diverses reformulations :

  1. l'aire d'un triangle rectangle de côtés rationnels (appelée un nombre congruent) ne peut pas être le carré d'un rationnel ;
  2. les côtés d'un triangle rectangle ne sont jamais simultanément commensurables au côté du carré de même aire ;
  3. il n'existe pas deux triangles pythagoriciens tels que les deux cathètes du plus petit soient égales à une cathète et l'hypoténuse du plus grand ;
  4. si trois nombres carrés sont en progression arithmétique, la raison d'une telle suite (alors appelée un congruum (en)) ne peut pas être elle aussi un nombre carré ;
  5. les seuls points rationnels de la courbe elliptique y2 = x(x – 1)(x + 1) sont les trois points triviaux (0, 0), (1, 0) et (–1, 0) ;
  6. l'équation diophantienne v4 – t4 = s2 n'a pas de solution entière non triviale.

La dernière de ces formulations a pour conséquence immédiate[3] le cas particulier n = 4 dans le « dernier théorème de Fermat ». Dans tous les travaux arithmétiques de Fermat qui lui ont survécu, il semble que son théorème sur les triangles rectangles soit le seul[1] accompagné d'une réelle démonstration[4] - [5].

Équivalence des diverses formulations

D'après le théorème de Pythagore, ce théorème de Fermat s'écrit : il n'existe pas d'entiers non nuls a, b, c et d tels que a2 + b2 = c2 et ab/2 = d2. Il équivaut à l'énoncé 1 : il n'existe même pas de rationnels non nuls vérifiant ces équations (on se ramènerait sinon à des entiers, en multipliant ces rationnels par un dénominateur commun) et à l'énoncé 2[6] - [7] (en divisant ces quatre rationnels par d).

Les énoncés 3 et 4 s'écrivent : il n'existe pas d'entiers non nuls u, v, w et t tels que u2 + t2 = v2 et v2 + t2 = w2, ce qui, comme précédemment, équivaut à la non-existence de rationnels non nuls vérifiant ces équations. On passe de l'un de ces deux groupes d'énoncés à l'autre par le changement de variables[8] (rationnelles) u = a – b, v = c, w = a + b, t = 2d.

L'énoncé 5 est équivalent au deuxième[7] - [9] par la bijection qui à tout triangle rectangle de côtés a, b, c et d'aire 1 associe le point (x = b(b + c)/2, y =bx ≠ 0) de la courbe et qui à tout point (x, y ≠ 0) de la courbe associe a = 2x/y, b = (x2 – 1)/y, c = (x2 + 1)/y.

L'énoncé 6 équivaut à celui de Fermat car les équations a2 + b2 = c2 et ab/2 = d2 ci-dessus impliquent c4 – (2d)4 = (a2 – b2)2 et réciproquement, toute solution de v4 – t4 = s2 fournit un congruum carré[10] ou plus directement, un triangle[11] de côtés 2v2t2, v4 – t4 et v4 + t4 dont l'aire est le carré de vts.

Histoire

En 1225, Fibonacci publia Flos, un recueil de ses solutions à un tournoi mathématique ; l'un des problèmes était de trouver trois rationnels dont les carrés soient en progression arithmétique, de raison prescrite, qu'il appela un congruum : pour le congruum 5, il fournit la solution (31/12, 41/12, 49/12)[12]. Dans son travail ultérieur sur cette question, publié dans son Liber Quadratorum (1225), Fibonacci fit la remarque qu'un congruum ne peut pas être un nombre carré, mais n'en présenta pas de preuve satisfaisante[2] - [11].

Ce n'est pas Fibonacci qui inspira Fermat, mais les Arithmétiques de Diophante (traduites et commentées par Bachet)[1]. Ce livre décrivait divers triangles rectangles spéciaux (en) dont les aires s'exprimaient par des formules contenant des carrés, mais ne considérait pas le cas d'aires égales à des carrés[3]. À maintes reprises, Fermat défia divers mathématiciens de démontrer qu'il n'existe pas de triangle pythagoricien dont l'aire soit un carré, sans divulguer sa preuve, qu'il nota sur son exemplaire des Arithmétiques. Après sa mort, son fils Samuel la découvrit et la publia en 1670, dans sa réédition de cet ouvrage.

Frénicle de Bessy, dans son Traité des triangles rectangles en nombres édité en 1676 (deux ans après sa mort), en donne aussi une démonstration[13], dont le principe est certainement dû à Fermat, au vu de la correspondance de ce dernier[2].

En 1738, Euler présente une preuve plus simple[14] de l'énoncé 6 ci-dessus et de son analogue pour l'équation v4 + t4 = s2 (voir « Démonstration du dernier théorème de Fermat dans le cas où n = 4 »).

Pour un historique beaucoup plus complet, voir Dickson 1999.

La preuve de Fermat

Fermat procède par descente infinie en montrant qu'à partir d'un triangle pythagoricien de côtés x, y et z dont l'aire xy/2 est un carré, on pourrait en construire un autre plus petit. Sa démonstration (en langage naturel)[4] peut être formalisée et complétée[5] comme suit.

On se ramène d'abord au cas où x et y sont premiers entre eux en remarquant que tout facteur commun peut être éliminé car son carré divise z2 et xy/2. D'après l'expression générale des triplets pythagoriciens primitifs, il existe alors deux entiers strictement positifs p et q, premiers entre eux et de parités différentes, tels que (quitte à intervertir x et y si nécessaire) x = 2pq, y = p2 – q2 et z = p2 + q2. Comme l'aire pq(p2 – q2) est supposée être un carré, les facteurs p, q, p + q et p – q (premiers entre eux deux à deux) sont eux-mêmes des carrés. En notant r2 = p + q et s2 = p – q (impairs), puis u = (r – s)/2 et v = (r + s)/2, l'entier u2 + v2 = p est un carré. On obtient donc un nouveau triangle pythagoricien, dont l'aire (par conséquent entière) uv/2 = (r2 – s2)/8 = q/4 est un carré, strictement inférieur à l'aire initiale pq(p2 – q2).

Notes et références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fermat's right triangle theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Harold M. Edwards, Fermat's Last Theorem : A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, Springer, coll. « GTM » (no 50), , 3e éd., 407 p. (ISBN 978-0-387-95002-0, lire en ligne), chap. 1, § 6 (« Fermat's one proof »), p. 10-14.
  2. (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. 2, AMS, 1999, chap. XXII (« Equations of degree four. Sum or difference of two biquadrates never a square; area of a rational right triangle never a square »), p. 615-626.
  3. (en) John Stillwell, Numbers and Geometry, Springer, coll. « Undergraduate Texts in Mathematics », (ISBN 978-0-38798289-2, lire en ligne), chap. 4, § 7 (« The Area of Rational Right Triangles »), p. 131-133.
  4. Reproduite dans Paul Tannery et Charles Henry, Œuvres de Fermat, vol. 1, § 46 : (la) « Ad problema XX commentarii in ultimam quæstionem Arithmeticorum Diophanti », p. 340-341 et traduite dans Œuvres de Fermat, vol. 3 (lire en ligne), « § 45 : Problème 20 de Bachet sur Diophante, VI, 26 », p. 271-272.
  5. Edwards 2000 souligne cependant quelques lacunes. Pour combler la principale, nous reprenons comme lui le choix de Dickson 1999, qui donne aussi des références pour d'autres choix possibles. Plus accessoirement, pour l'argument final de décroissance, obscur chez Fermat et auquel Tannery et Henry, Dickson 1999, puis Edwards 2000 tentent, chacun de façon différente, de donner un sens, nous adoptons le choix de Stillwell 1998, infidèle au texte mais bien plus simple (pour une variante, voir (en) Robert M. Young (en), Excursions in Calculus: An Interplay of the Continuous and the Discrete, CUP, (lire en ligne), p. 47-48).
  6. (en) Keith Conrad, « The congruent number problem », Harvard College Mathematical Review, vol. 2, no 2,‎ , p. 58-73 (lire en ligne).
  7. (en) Neal Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms [détail des éditions].
  8. (en) Albert H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains, Dover, (ISBN 978-0-48621096-4, lire en ligne), p. 153.
  9. (en) Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa et Takeshi Saito, Number Theory: Fermat's Dream, AMS, coll. « Translations of Mathematical Monographs » (no 186), (ISBN 978-0-82180863-4, lire en ligne), p. 17.
  10. (en) Wacław Sierpiński, Elementary Theory of Numbers, North-Holland/PWN, , 2e éd. (ISBN 9780080960197, lire en ligne), chap. II, § 6 (« On squares whose sum and difference are squares »), p. 50-56 (Corollary 1, p. 52-53).
  11. (en) Øystein Ore, Number Theory and Its History, Dover, (ISBN 978-0-48613643-1, lire en ligne), p. 202-203.
  12. (en) Michael J. Bradley, The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300, Infobase Publishing, (ISBN 978-0-81605423-7, lire en ligne), p. 124.
  13. Proposition 39.
  14. (la) L. Euler, « Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes », Comm. Acad. Sci. Petrop., vol. 10,‎ , p. 125-146 (lire en ligne), traduction en allemand sur arXiv:1202.3808 (théorème 2 et théorème 1).

Voir aussi
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