Théorème de Stolz-Cesàro

Soient (u_n) et (v_n) deux suites réelles, avec (v_n) strictement croissante, et satisfaisant l'une des deux hypothèses supplémentaires suivantes[4] - [5] :

• (cas 0/0) : ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\lim _{n\to \infty }v_{n}=0}$ ;
• (cas ∙/∞)[6] : ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }v_{n}=+\infty }$.

${\displaystyle {\rm {Si}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {u_{n+1}-u_{n}}{v_{n+1}-v_{n}}}=\ell \in {\overline {\mathbb {R} }}\quad {\rm {alors}}\quad {\frac {u_{n}}{v_{n}}}\to \ell .}$

L'énoncé reste vrai si u_n et ℓ sont des nombres complexes ou, plus généralement, des éléments d'un espace vectoriel normé[7].

En posant a_n = u_n – u_n–1 et b_n = v_n – v_n–1, l'énoncé devient[8] :

Soient (a_n) et (b_n) deux suites réelles, avec b_n > 0, et telles que ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to \ell \in {\overline {\mathbb {R} }}.}$

• (Cas 0/0) : si les séries ∑a_n et ∑b_n convergent alors ${\displaystyle {\frac {\sum _{k=n}^{\infty }a_{k}}{\sum _{k=n}^{\infty }b_{k}}}\to \ell .}$
• (Cas ∙/∞) : si ∑b_n diverge alors ${\displaystyle {\frac {\sum _{k\leq n}a_{k}}{\sum _{k\leq n}b_{k}}}\to \ell .}$

Voici deux applications du cas ∙/∞.

• Le lemme de Cesàro s'obtient en posant b_n = 1.
• Soit α > 0. Sachant que${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)^{\alpha }-n^{\alpha }}{n^{\alpha -1}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(1+1/n)^{\alpha }-1}{1/n}}=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}x^{\alpha }\right)_{x=1}=\alpha ,}$en posant${\displaystyle a_{n}=(n+1)^{\alpha -1}{\text{ et }}b_{n}=(n+1)^{\alpha }-n^{\alpha }}$on trouve[9] :${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1^{\alpha -1}+2^{\alpha -1}+3^{\alpha -1}+\ldots +n^{\alpha -1}}{n^{\alpha }}}={\frac {1}{\alpha }}.}$(Pour α entier, il s'agit du coefficient dominant du polynôme de la formule de Faulhaber.)

• Soient (a_n) et (b_n) deux suites réelles, avec b_n > 0 et ∑b_n = +∞. Alors, les limites inférieure et supérieure de (a_n/b_n) encadrent celles de la suite des quotients de sommes partielles des deux séries[10] :${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k\leq n}a_{k}}{\sum _{k\leq n}b_{k}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k\leq n}a_{k}}{\sum _{k\leq n}b_{k}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}.}$
• Soient p_{n, k} (n, k ∈ ℕ) des réels positifs tels que${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad \sum _{k}p_{n,k}=1}$et s ↦ t la transformation linéaire sur les suites bornées définie par${\displaystyle t_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }p_{n,k}s_{k}.}$Une condition nécessaire et suffisante pour que cette transformation soit régulière, c'est-à-dire pour qu'elle vérifie${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\ell \Rightarrow \lim _{n\to \infty }t_{n}=\ell \quad (*)}$est[11] :${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} \quad \lim _{n\to \infty }p_{n,k}=0.}$Dans le cas triangulaire inférieur, c'est-à-dire lorsque p_{n, k} = 0 dès que k > n, la transformation s'étend aux suites non bornées, et si la condition de régularité est satisfaite alors l'implication (✻) est encore vraie pour ℓ = ±∞.

Le cas ∙/∞ s'en déduit, en posant[12]${\displaystyle p_{n,k}={\begin{cases}{\frac {b_{k}}{\sum _{j=0}^{n}b_{j}}}&{\text{si }}k\leq n,\\0&{\text{si }}k>n.\end{cases}}}$