Convergence inconditionnelle

Soient X un groupe topologique abélien — par exemple un espace vectoriel normé — et $(x n) n \inℕ$ une suite d'éléments de X. On dit que la série $\sum x n$ converge inconditionnellement ou qu'elle est commutativement convergente[1] si, pour toute permutation $σ$ : ℕ → ℕ, la série $\sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}$ converge dans X.

Toute série absolument convergente dans un espace de Banach X est inconditionnellement convergente. La réciproque est vraie si et seulement si X est de dimension finie[2].

Une base de Schauder de X est dite inconditionnelle si pour tout x ∈ X, la série représentant x converge inconditionnellement.

Lien avec les familles sommables

Théorème[1] — Une série de terme général $x n$ est commutativement convergente si et seulement si la suite $(x n) n \inℕ$ est une famille sommable, et toutes les sommes $\sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}$ sont alors égales à $\sum n \inℕ x n$ .

Si la suite est sommable, il est immédiat que toutes les séries permutées convergent (vers sa somme). La réciproque — si toutes les séries permutées convergent, alors la suite est sommable, sans supposer a priori que les sommes des séries sont égales — repose sur deux lemmes[3] :

Lemme 1 — Si toutes les séries $\sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}$ vérifient le critère de Cauchy pour les séries, alors la suite $(x n) n \inℕ$ vérifie le critère de Cauchy pour les familles :

\forall V{\text{ voisinage de }}0\quad \exists J_{V}{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \forall K{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \left(K\cap J_{V}=\varnothing \Rightarrow \sum _{k\in K}x_{k}\in V\right).

Démonstration

Par contraposée, supposons que le critère de Cauchy pour les familles n'est pas vérifié, c'est-à-dire qu'il existe un voisinage V de l'élément neutre 0 du groupe X tel que :

\forall J{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \exists K(J){\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad K(J)\cap J=\varnothing {\text{ et }}\sum _{k\in K(J)}x_{k}\notin V.

En posant J₀ = ∅ et, pour tout entier naturel n, J_n+1 = J_n ∪ K(J_n), on obtient une partition de ℕ par les K(J_n). Il existe une permutation de ℕ dans laquelle les éléments de chaque K(J_n) deviennent consécutifs. La série correspondante ne vérifie pas le critère de Cauchy.

Lemme 2 — Si $(x n) n \inℕ$ vérifie le critère de Cauchy pour les familles et si l'une des séries $\sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}$ converge, alors $(x n) n \inℕ$ est une famille sommable.

Démonstration

Supposons que $(x n) n \inℕ$ vérifie le critère de Cauchy pour les familles et — sans perte de généralité — que la série $\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$ soit convergente, de somme S, c'est-à-dire :

\forall V{\text{ voisinage de }}0\quad \exists N_{V}\quad \forall n\geq N_{V}\quad S-\sum _{k=0}^{n}x_{k}\in V.

Soient J_V un ensemble associé à V dans le critère de Cauchy pour les familles, J un ensemble fini d'entiers naturels contenant J_V, et n un entier majorant à la fois J et N_V. L'ensemble {0, … , n}\J est alors disjoint de J_V, d'où

\left(\sum _{k=0}^{n}x_{k}\right)-\sum _{k\in J}x_{k}\in V.

On en déduit que

\forall V{\text{ voisinage de }}0\quad \exists J_{V}{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \forall J{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \left(J\supset J_{V}\Rightarrow S-\sum _{k\in J}x_{k}\in V+V\right),

ce qui prouve que la suite est sommable, de somme S.

Autres caractérisations

Théorème — Une série de terme général $x n$ est commutativement convergente si et seulement si pour toute suite $(ε n) n \inℕ$ avec $ε n$ = ±1, la série $\sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}$ converge, ou encore si toute sous-série $\Sigma _{m=0}^{\infty }x_{n_{m}}$ ( $n 0 < n 1 < n 2 < \dots$ ) converge.

Ce théorème se déduit du lemme 2 ci-dessus et du lemme suivant, qui se démontre[4] comme le lemme 1 :

Lemme 3 — Si toutes les sous-séries vérifient le critère de Cauchy pour les séries, alors la suite vérifie le critère de Cauchy pour les familles.

Notes et références

Bourbaki, TG, III.44.
Cf. théorème de Dvoretzky-Rogers.
Gustave Choquet, Cours d'analyse, tome II : Topologie, p. 228-229.
(en) Christopher Heil, A Basis Theory Primer : Expanded Edition, Springer, 2010, 534 p. (ISBN 978-0-8176-4686-8, lire en ligne), p. 97.

Voir aussi

Bibliographie

(en) Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos Santalucía, Jan Pelant et Václav Zizler, Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, 2000 (ISBN 978-0-387-95219-2)