Espace tonnelé

Nicolas Bourbaki a inventé des termes tels que « tonneau » ou espace « tonnelé » (à partir des tonneaux de vin) ainsi que les espaces « bornologiques »[1].

Dans un espace vectoriel topologique E sur un corps valué non discret K qui est une ℝ-algèbre (par exemple sur ℝ ou ℂ), on appelle tonneau toute partie T convexe, équilibrée, fermée et absorbante :

• convexe : ${\displaystyle \forall u,v\in T,\forall t\in [0,1],tu+(1-t)v\in T}$
• équilibrée : ${\displaystyle \forall u\in T,\forall \lambda \in K,|\lambda |\leq 1\Rightarrow \lambda u\in T}$
• fermée : pour la topologie de E
• absorbante : ${\displaystyle \forall x\in E,\exists \alpha \in \mathbb {R} _{+}^{*},\forall \lambda \in K:|\lambda |\leq \alpha \Rightarrow \lambda x\in T.}$

L'espace E est dit tonnelé si tout tonneau de E est un voisinage de 0.

Compte tenu des propriétés d'un tonneau dans un espace localement convexe, les conditions suivantes sont équivalentes pour un espace localement convexe tonnelé E (dont le dual est noté ${\displaystyle E^{\prime }}$) :

(a) E est tonnelé ;

(b) toute partie faiblement bornée de ${\displaystyle E^{\prime }}$ est équicontinue ;

(c) toute semi-norme semi-continue inférieurement dans E est continue

(d) pour tout espace localement convexe F, toute partie simplement bornée de ${\displaystyle {\mathcal {L}}(E;F)}$ est équicontinue.

(Ces équivalences sont une conséquence du théorème des bipolaires, donc du théorème de Hahn-Banach.)

• Un espace localement convexe E est tonnelé si, et seulement si sa topologie initiale coïncide avec la topologie forte ${\displaystyle \beta (E,E^{\prime })}$.
• Les espaces de Fréchet, et en particulier les espaces de Banach, sont tonnelés, mais généralement les espaces vectoriels normés ne sont pas tonnelés.
• Les espaces de Montel sont tonnelés, par définition.
• les espaces vectoriels topologiques qui sont des espaces de de Baire sont tonnelés.
• Un espace de Mackey (en) séparé, complet est tonnelé.
• Un espace limite inductive d'une famille d'espaces tonnelés est tonnelé. Par conséquent, un espace ultrabornologique est tonnelé, et en particulier un espace bornologique et semi-complet est tonnelé (mais il existe des espaces tonnelés qui ne sont pas bornologiques).
• Un espace quotient d'un espace tonnelé est tonnelé (en revanche, un sous-espace fermé d'un espace tonnelé n'est pas nécessairement tonnelé).
• Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un espace somme directe d'espaces localement convexes ${\displaystyle E_{i}}$ soit tonnelé est que chacun des ${\displaystyle E_{i}}$ le soit.
• Un produit d'espaces tonnelés est tonnelé.
• Le complété d'un espace tonnelé (ou même infratonnelé : voir infra) séparé est un espace tonnelé.
• Soit ${\displaystyle \Omega }$ un ouvert de ℝⁿ ou plus généralement une variété différentielle de dimension finie paracompacte. Les espaces classiquement notés ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\Omega )}$ (espace des fonctions indéfiniment dérivables dans ${\displaystyle \Omega }$), son dual fort ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }(\Omega )}$ (espace des distributions à support compact dans ${\displaystyle \Omega }$), ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ (espace des fonctions indéfiniment dérivables à support compact dans ${\displaystyle \Omega }$ : voir l'article Distribution) et son dual fort ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )}$ (espace des distributions dans ${\displaystyle \Omega }$) sont des espaces tonnelés (ce sont même des espaces de Montel). De même, l'espace de Schwartz ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ des fonctions déclinantes sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ et son dual fort, à savoir l'espace des distributions tempérées sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, sont des espaces tonnelés.
• Soit ${\displaystyle \Omega }$ un ouvert de ℝⁿ ou plus généralement une analytique réelle de dimension finie paracompacte, et K un sous-ensemble compact de ${\displaystyle \Omega }$. L'espace ${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(K\right)}$ des germes de fonctions analytiques dans un voisinage complexe de K et son dual fort ${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(K\right)^{\prime }}$, isomorphe à l'espace ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{K}\left(\Omega \right)}$ des hyperfonctions à support inclus dans K, dont des espaces tonnelés.

• Dual d'un espace vectoriel topologique
• Théorème de Banach-Steinhaus
• Espace (DF)