Ensemble tonnelé

Un ensemble E d'un K-espace vectoriel topologique X (où K est un corps valué non discret qui est une ${\displaystyle \mathbb {R} }$-algèbre) est tonnelé s'il est :

• convexe : ${\displaystyle \forall t\in [0,1],tE+(1-t)E\subset E}$
• équilibré : ${\displaystyle \forall \lambda \in K,|\lambda |\leq 1\Rightarrow \lambda E\subset E}$
• absorbant : ${\displaystyle \forall x\in X,\exists \alpha \in \mathbb {R} _{+}^{*},\forall \lambda \in K:|\lambda |\leq \alpha \Rightarrow \lambda x\in E}$
• fermé

Remarques.

• Seule la dernière propriété (fermé) est topologique.
• Pour qu'un convexe E soit équilibré (on dit aussi « cerclé »), il suffit que ${\displaystyle \forall \lambda \in K,|\lambda |=1\Rightarrow \lambda E\subset E.}$
• Une partie E est un convexe équilibré si et seulement si elle est absolument convexe (en) : ${\displaystyle \forall \lambda ,\mu \in K,|\lambda |+|\mu |\leq 1\Rightarrow \lambda E+\mu E\subset E.}$
• Pour qu'une partie équilibrée E soit absorbante, il suffit que tout vecteur de X soit l'homothétique d'un vecteur de E : ${\displaystyle KE=X.}$

Les tonneaux ont des propriétés intéressantes essentiellement dans le cas localement convexe. En effet, soit E un espace localement convexe (sur le corps des réels ou des complexes), ${\displaystyle E^{\prime }}$ son dual et T une partie de E. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) T est un tonneau ;

(b) T est le polaire d'un ensemble M convexe, équilibré et fortement borné dans ${\displaystyle E^{\prime }}$ ;

(c) il existe une semi-norme p sur E, semi-continue inférieurement, telle que T soit l'ensemble des ${\displaystyle x\in E}$ satisfaisant à ${\displaystyle p(x)\leq 1}$.

Ces équivalences sont une conséquence du théorème des bipolaires (donc du théorème de Hahn-Banach).

• Dans un espace vectoriel semi-normé, la boule unité est tonnelée.
• Tout espace localement convexe admet une base de voisinages de 0 tonnelés.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Barrelled set » (voir la liste des auteurs).
• (en) « Barrel », sur PlanetMath

Espace tonnelé, un espace vectoriel topologique séparé où tout ensemble tonnelé est un voisinage de 0.