Théorème de Baire

• Analyse fonctionnelle :
  • théorèmes de l'application ouverte, du graphe fermé, de l'isomorphisme de Banach,
  • théorème de Banach-Steinhaus,
  • théorème de la limite simple de Baire,
  • théorème de Blumberg,
  • dans l'espace de Banach des fonctions continues sur [0, 1], le sous-ensemble des fonctions nulle part dérivables contient un G_δ dense ;
• Caractérisation des polynômes réels[3] - [4] - [5] - [6] - [7] - [8] : si f est une fonction C^∞ telle que ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \exists n\in \mathbb {N} \quad f^{(n)}(x)=0}$, alors c'est un polynôme (on peut noter l'inversion de quantificateurs avec la caractérisation évidente ${\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in \mathbb {R} \quad f^{(n)}(x)=0}$).
  Plus généralement[9] - [10], il suffit de supposer que ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \exists n\in \mathbb {N} \quad f^{(n)}(x)\in D}$, où D est un ensemble au plus dénombrable arbitraire.

• Connexité du tipi de Cantor
• Théorème de superposition de Kolmogorov
• Tout espace métrique complet non vide et sans point isolé est infini non dénombrable[11].
• Plus généralement, toute intersection dénombrable d'ouverts denses d'un espace de Baire séparé, non vide et sans point isolé est infinie non dénombrable[12].
• Dans un espace de Banach de dimension infinie, toute base est non dénombrable (voir Espace vectoriel normé, § Complétude)[13].

• Gilles Godefroy, texte sur le théorème
• BwataBaire, un wiki qui se propose de recenser diverses applications du lemme de Baire, et de réfléchir aux relations qu'il entretient avec des phénomènes similaires.
• (en) Brian S. Thomson, Andrew M. Bruckner et Judith B. Bruckner, Real Analysis, 2008, 2^e éd. (ISBN 978-1-43484412-5, lire en ligne) (aperçu sur Google Livres)

Théorème d'Osgood (de)