Application bilinéaire

Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps commutatif K et φ : E×F → G une application. On dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire :

${\displaystyle \forall (x,x')\in E^{2},\forall (y,y')\in F^{2},\forall \lambda \in K,\qquad \left\{{\begin{matrix}\varphi (x+x',y)=\varphi (x,y)+\varphi (x',y)\\\varphi (x,y+y')=\varphi (x,y)+\varphi (x,y')\\\varphi (\lambda x,y)=\varphi (x,\lambda y)=\lambda \varphi (x,y).\end{matrix}}\right.}$

Si G = K, on parle de forme bilinéaire.

Le produit scalaire est une forme bilinéaire, car il est distributif sur la somme vectorielle, et associatif avec la multiplication par un scalaire :

${\textstyle \forall (x,y,z)\in E^{3},\forall (\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2},(x\mid \lambda y+\mu z)=\lambda (x\mid y)+\mu (x\mid z)}$.

Soit A et B deux anneaux (non nécessairement commutatifs), E un A-module à gauche, F un B-module à droite et G un (A,B)-bimodule. Cela signifie que G est un A-module à gauche et un B-module à droite, avec la relation de compatibilité :

${\displaystyle \forall (a,b,g)\in A\times B\times G,(ag)b=a(gb)}$.

Soit alors φ : E×F → G une application. Comme plus haut, on dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables. Cela se traduit par :

${\displaystyle \forall (x,x')\in E^{2},\forall (y,y')\in F^{2},\forall (a,b)\in A\times B,\qquad \left\{{\begin{matrix}\varphi (x+x',y)=\varphi (x,y)+\varphi (x',y)\\\varphi (x,y+y')=\varphi (x,y)+\varphi (x,y')\\\varphi (ax,y)=a\varphi (x,y)\\\varphi (x,yb)=\varphi (x,y)b.\end{matrix}}\right.}$

Ceci est bien entendu valide lorsque A = B est un corps non commutatif K, E est un K-espace vectoriel à gauche, F est un K-espace vectoriel à droite, et G est un espace vectoriel à gauche et à droite avec la relation de compatibilité ci-dessus.

Sur un espace vectoriel, les produits scalaires et produits vectoriels sont des applications bilinéaires.

N. Bourbaki, Algèbre, Chapitre 9 : Formes Sesquilinéaires et formes quadratiques, Springer, 2006, 208 p. (ISBN 978-3-540-35338-6, lire en ligne)