Anneau de valuation discrète

6 ⇒ 1 étant immédiat, on va démontrer (par une boucle d'implications) que les critères 2 à 7 sont équivalents et que (par exemple) 1 ⇔ 2.

1 ⇒ 2 : Soit ${\displaystyle \scriptstyle t\in M\setminus M^{2}}$, alors M = tA + M ² donc (d'après le lemme de Nakayama) M = tA. Puisque t est non nul (car il n'appartient pas à M²) et que A est intègre, toutes ses puissances sont non nulles donc M n'est pas nilpotent.

2 ⇒ 3 : Aucune des puissances de M n'est nulle, alors que leur intersection l'est (comme dans tout anneau local noethérien[3]). Pour tout idéal non nul I, il existe donc un plus grand entier n tel que I soit inclus dans Mⁿ. Pour cet entier n, (I + Mⁿ⁺¹)/Mⁿ⁺¹ est un sous-espace non nul du A/M-espace vectoriel Mⁿ/Mⁿ⁺¹. Or cet espace est de dimension au plus 1 (c'est ici qu'on utilise que M est principal), donc le sous-espace non nul lui est égal, c'est-à-dire Mⁿ = I + Mⁿ⁺¹. Par le lemme de Nakayama, on conclut que I = Mⁿ.

3 ⇒ 4 : La condition 3 implique que l'ordre d'inclusion sur les idéaux de A est total, ce qui caractérise les anneaux de valuation.

4 ⇒ 5 : Par noethérianité, M est finiment engendré. Si A est l'anneau d'une valuation v sur K, v(M) possède donc un élément minimum, ce qui assure que v est discrète.

5 ⇒ 6 a déjà été vu ; 6 ⇒ 7 est classique.

7 ⇒ 2 : Soient K le corps des fractions de A et a un élément non nul de M. Il existe un entier naturel n tel que Mⁿ soit inclus dans aA (car dans un anneau noethérien intègre, tout idéal non nul contient un produit d'idéaux premiers non nuls). Choisissons le plus petit n vérifiant cette propriété. Comme a appartient à M, n n'est pas nul ; et comme n est choisi minimal, il existe un élément b de M^n–1 qui n'est pas élément de aA. Posons k = b/a (élément de K) : alors k n'appartient pas à A donc (puisque A est supposé intégralement clos) k n'est pas entier sur A, donc il n'existe pas de A[k]-module fidèle qui soit de type fini en tant que A-module, si bien que M (qui est un A-module de type fini, comme idéal d'un anneau noethérien) ne peut être stable par produit par k. Ainsi, kM n'est pas inclus dans M. Il est cependant inclus dans A (car bM est inclus dans Mⁿ donc dans aA). C'est donc un idéal de A non inclus dans l'idéal maximal M. Par conséquent, kM = A, donc M = tA pour t = k⁻¹, si bien que M est principal. (Il est non nilpotent, puisque A est intègre.)