Théorème de Puiseux

Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique zéro. Alors le corps K〈〈X 〉〉 des séries de Puiseux est une clôture algébrique du sous-corps K((X)) des séries de Laurent.

On peut montrer que chacune des deux hypothèses faites sur K est nécessaire.

Remarquons d'abord que K〈〈X 〉〉 est une extension algébrique de K((X)). En effet, une série de Puiseux de la forme ${\displaystyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}X^{i/n}}$ (avec k entier relatif et a_i ∈ K) appartient à l'extension finie K((X))[X^1/n] (de degré n).

Soit Ω une clôture algébrique de K〈〈X 〉〉 donc de K((X)), montrons que K〈〈X 〉〉 est égal à Ω tout entier. Dans Ω[1], soient L une extension de degré n de K((X)) et B la fermeture intégrale dans L de K[[X]]. Montrons que B ⊂ K[[X^1/n]], ce qui prouvera que L ⊂ K((X^1/n)) ⊂ K〈〈X 〉〉 et conclura.

L'anneau B est local, son idéal maximal étant constitué des éléments dont la norme relative (dans K[[X]]) est divisible par X. Comme de plus B est de Dedekind, c'est un anneau de valuation discrète.

Soit Y une uniformisante pour B. Il existe un inversible u tel que X = uYⁿ. Puisque K est algébriquement clos, le corps résiduel B/(Y) (extension finie de K) lui est égal et contient une racine n-ième de u mod Y. Or B est complet pour la topologie Y-adique, parce qu'il l'est pour la topologie X-adique (du fait que K[[X]] l'est (en)) et que ces deux topologies sur B coïncident. On peut donc appliquer le lemme de Hensel : cette racine mod Y se relève en une racine n-ième, v, de u dans B. L'uniformisante Z := vY est alors une racine n-ième de X donc produit de X^1/n par un élément non nul de K.

Tout élément de B s'écrit alors (par approximations successives[2]) comme une série formelle en X^1/n à coefficients dans K, comme annoncé.

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Springer, 2007 (ISBN 9783540343981), chap. V, exerc. 2 p. 143