Polygone de Newton

On considère ici le cas où ${\displaystyle (K,v)}$ est un corps local non archimédien, c'est-à-dire un corps de nombres p-adiques ou un corps ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}((X))}$ de séries de Laurent sur un corps fini.

On dit[2] que le polynôme ${\displaystyle \Pi }$ est pur de pente m lorsque son polygone de Newton est un unique segment dont la pente est m. Remarquons que dans ce cas, la pente est nécessairement ${\displaystyle v(a_{n})/n}$.

Le polygone de Newton d'un polynôme P (qui n'est pas a priori supposé pur) fournit les informations suivantes quant à sa factorisation dans ${\displaystyle K[X]}$.

En particulier, on peut facilement construire le polygone de Newton d'un polynôme irréductible.

Notons que la réciproque est fausse. En fait[5], si f et g sont deux polynôme purs de même pente m, alors fg est lui aussi pur de pente m. Il existe cependant une réciproque partielle dans certains cas favorables (voir la section suivante).

Dans cette partie on considère le cas où K est un corps de nombres p-adiques ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$, et v est donc la valuation p-adique ${\displaystyle v_{p}}$. Dans ce cadre, le polygone de Newton du polynôme P donne des informations précises quant à la localisation des racines de P dans ${\displaystyle \mathbf {C} _{p}}$.

On peut ainsi obtenir une réciproque partielle au corollaire donné dans la section précédente. Considérons ainsi le cas d'un polynôme ${\displaystyle P(X)\in \mathbf {Q} _{p}[X]}$ de degré n pur de pente m, et supposons en outre que ${\displaystyle v_{p}(a_{n})}$ est premier avec n. D'après le théorème qui précède, toutes les racines de P dans ${\displaystyle \mathbf {C} _{p}}$ ont pour valuation ${\displaystyle -v_{p}(a_{n})/n}$. Si l'on écrit ${\displaystyle P=QR}$, pour deux polynômes Q et R à coefficients dans ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$, avec Q de degré d, alors le produit des racines de Q a pour valuation ${\displaystyle -dv_{p}(a_{n})/n}$; or ce produit est (au signe près) le coefficient constant de Q, un élément de ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$, donc sa valuation est un entier. Ainsi, n divise ${\displaystyle dv_{p}(a_{n})}$ et est premier avec ${\displaystyle v_{p}(a_{n})}$, donc il divise d. On en déduit que P est irréductible, et on a par conséquent démontré le théorème suivant.

On retrouve comme cas particulier le critère d'Eisenstein, qui correspond au cas où ${\displaystyle v_{p}(a_{n})=-1}$. En effet, si P satisfait aux hypothèses du critère d'Eisenstein pour un nombre premier p, alors ${\displaystyle P(X)/a_{0}}$ a un coefficient constant égal à 1, le coefficient du terme dominant est ${\displaystyle 1/a_{0}}$, et les autres coefficients ont des valuations p-adiques positives. Le polynôme P est donc pur de pente ${\displaystyle -1/n}$.

Considérons un polynôme ${\displaystyle P(X,Y)}$ en deux indéterminées, à coefficients dans un corps K quelconque. On peut munir ${\displaystyle K(Y)}$ de la valuation la valuation Y-adique ${\displaystyle v_{Y}}$, définie pour un polynôme ${\displaystyle A(Y)=a_{0}+a_{1}Y+\cdots +a_{m}Y^{m}}$ comme le plus petit indice ${\displaystyle i}$ tel que ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$, et étendue à ${\displaystyle K(Y)}$ en posant ${\displaystyle v_{Y}(A/B)=v_{Y}(A)-v_{Y}(B)}$. Le polygone de Newton d'un polynôme

${\displaystyle P(X,Y)=\sum a_{i,j}X^{i}Y^{j}}$

vis-à-vis de la valuation Y-adique est alors l'enveloppe convexe des points de coordonnées ${\displaystyle (i,j)}$ tels que ${\displaystyle a_{i,j}\neq 0}$.

Plus généralement, on peut construire le polytope de Newton d'un polynôme de ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$, comme ensemble convexe des points de ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ de coordonnées ${\displaystyle (i_{1},\ldots ,i_{n})}$ tels que le coefficient devant ${\displaystyle X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}}$ est non nul.

On peut définir de la même façon le polygone de Newton d'une série formelle

${\displaystyle F=\sum _{i\geqslant 0}a_{i}X^{i}}$

à coefficients dans un corps valué ${\displaystyle (K,v)}$.