Polynôme en plusieurs indéterminées

Définissons l'anneau A[X₁, … , X_n] des polynômes à coefficients dans A en n indéterminées, par récurrence sur n[1] :

• l'anneau des polynômes à coefficients dans A en 0 indéterminées est simplement A lui-même.
• pour n > 1, A[X₁, … , X_n] est l'anneau B[X_n], où B désigne l'anneau A[X₁, … , X_n–1] supposé déjà construit.

On vérifie instantanément (par récurrence) que A[X₁, … , X_n] ainsi défini :

• est un anneau commutatif (intègre si et seulement si A l'est) ;
• contient A comme sous-anneau (c'est donc une A-algèbre) ;
• est libre en tant que A-module, sa base canonique étant constituée des monômes X₁^k₁…X_n^k_n, où les k_i sont des entiers naturels.

Concrètement, un élément de A[X₁, … , X_n] s'écrit comme une somme finie :

${\displaystyle P=\sum _{j=0}^{m}P_{j}X_{n}^{j}\quad {\text{avec}}\quad P_{j}\in A[X_{1},\ldots ,X_{n-1}]}$

et chaque P_j s'écrit lui-même comme une somme finie :

${\displaystyle P_{j}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{n-1}\in \{0,\ldots ,d_{j}\}}a_{k_{1},\ldots ,k_{n-1},j}X_{1}^{k_{1}}\ldots X_{n-1}^{k_{n-1}}\quad {\text{avec}}\quad a_{k_{1},\ldots ,k_{n-1},j}\in A}$

ou encore, en choisissant un majorant d de m, d₀, … , d_m et en complétant par des zéros la liste des P_j et des coefficients dans A :

${\displaystyle P_{j}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{n-1}\in \{0,\ldots ,d\}}a_{k_{1},\ldots ,k_{n-1},j}X_{1}^{k_{1}}\ldots X_{n-1}^{k_{n-1}}\quad {\text{et}}\quad P=\sum _{j=0}^{d}P_{j}X_{n}^{j}=\sum _{k_{1},\ldots ,k_{n-1},j\in \{0,\ldots ,d\}}a_{k_{1},\ldots ,k_{n-1},j}X_{1}^{k_{1}}\ldots X_{n-1}^{k_{n-1}}X_{n}^{j}.}$

On remarque, en examinant la définition ci-dessus, que :

• l'algèbre A[X₁, … , X_n] obtenue est indépendante (à isomorphisme canonique près) de l'ordre choisi pour les indéterminées au cours de la construction. On peut donc la noter également A[(X_i)_{i∈{1,…,n}}], ou encore (en réindexant les indéterminées) A[(X_i)_i∈I] où I est un ensemble quelconque à n éléments, non ordonné ;
• pour toute partie J de I, A[(X_j)_j∈J] est un sous-anneau de A[(X_i)_i∈I].

Ceci permet de définir l'anneau A[(X_s)_s∈S] pour n'importe quel ensemble S (non nécessairement fini ni même dénombrable) comme la réunion (appelée « limite inductive ») des A[(X_i)_i∈I] pour toutes les parties finies I de S.

Quelques propriétés élémentaires se déduisent immédiatement de cette définition :

• l'anneau A[(X_s)_s∈S] est intègre si et seulement si A l'est ;
• pour toute partie J de S, l'anneau A[(X_s)_s∈S] s'identifie à A[(X_j)_j∈J][(X_k)_k∈S\J] ;
• si S est la réunion d'une chaîne F de parties (c'est-à-dire d'un ensemble de parties sur lequel l'ordre d'inclusion est total), alors A[(X_s)_s∈S] est la réunion des A[(X_i)_i∈I] pour tous les I de F.

À l'ensemble (quelconque) S des indices des indéterminées, on associe le monoïde commutatif libre sur S.

En notation additive, on peut se le représenter comme l'ensemble ℕ^(S) des applications de S dans ℕ à support fini — c'est-à-dire des familles (k_s)_s∈S d'entiers naturels dont tous sont nuls sauf un nombre fini — muni de l'addition terme à terme. Notons e_s (pour tout s ∈ S) l'élément de ce monoïde constitué de la fonction de S dans ℕ qui vaut zéro partout sauf en s ou elle vaut 1. On dit que (e_s)_s∈S est une « base » de ce monoïde commutatif, au sens où tout élément de ℕ^(S) s'écrit, de manière unique à l'ordre près des termes, comme une somme finie d'éléments e_s, avec répétitions éventuelles : (k_s)_s∈S est la somme des k_se_s pour tous les k_s non nuls.

Le monoïde M_S des monômes unitaires est le même monoïde commutatif libre sur S mais noté multiplicativement, et sa base canonique est notée (X_s)_s∈S. Autrement dit, tout monôme unitaire s'écrit de manière unique comme un produit fini de puissances des X_s.

L'anneau A[(X_s)_s∈S] est alors défini comme l'algèbre A[M_S] du monoïde M_S : un polynôme P est une combinaison linéaire formelle à coefficients dans A de monômes unitaires. Il se représente donc comme une application de ℕ^(S) dans A à support fini : l'application qui, à chaque famille (k_s)_s∈S d'entiers presque tous nuls, associe le coefficient dans P du monôme ∏_s∈SX_s^k_s qu'elle représente.

L'algèbre A[M_S] est donc le A-module libre de base M_S, muni de l'unique multiplication de A-algèbre qui prolonge la multiplication du monoïde M_S.

Considérons, pour simplifier, l'anneau des polynômes à n variables A[X₁, … , X_n]. Alors, pour toute A-algèbre commutative B et tout n-uplet (b₁, … , b_n) dans B, il existe un unique morphisme de A-algèbres de A[X₁, … , X_n] dans B, appelé « morphisme d'évaluation », qui envoie chaque X_i sur le b_i de même indice. Cette propriété, jointe au théorème de factorisation, montre que toute A-algèbre commutative de type fini est un quotient d'un A[X₁, … , X_n] ; elle est donc essentielle pour la construction de morphismes d'une telle algèbre vers une autre A-algèbre commutative.

Plus généralement, la propriété universelle suivante caractérise les algèbres de polynômes[6] :

Soient B une A-algèbre commutative et (b_s)_s∈S une famille d'éléments de B. Il existe un unique morphisme φ de A-algèbres, de A[(X_s)_s∈S] dans B, tel que

${\displaystyle \forall s\in S\quad \varphi (X_{s})=b_{s}.}$

Exemples

• Si A est un sous-anneau de B, l'image de ce morphisme est le sous-anneau A[(b_s)_s∈S] de B engendré par A et les b_s.
• Si C est un anneau commutatif, tout morphisme ψ de A dans C se prolonge, par la propriété universelle, en un unique morphisme φ de A[(X_s)_s∈S] dans C[(X_s)_s∈S] tel que φ(X_s) = X_s pour tout s. Ceci traduit la fonctorialité, par rapport à l'anneau de coefficients, de l'anneau de polynômes en un ensemble fixé d'indéterminées. L'image de φ est alors D[(X_s)_s∈S] où D est l'image de ψ, et le noyau de φ est l'idéal engendré par le noyau de ψ.

Certaines définitions concernant les polynômes en une indéterminée se généralisent :

• un monôme est le produit d'un élément de A par un élément de M_S :
  • l'élément de A est appelé le coefficient du monôme,
  • le degré d'un monôme est la somme des exposants des différentes indéterminées ;
• le degré d'un polynôme non nul est celui de son monôme de plus haut degré (on convient que le degré du polynôme nul est moins l'infini) ;
• un polynôme constant est un polynôme nul ou de degré 0 ;
• le terme constant d'un polynôme est le coefficient de son monôme de degré 0, ou terme indépendant.

En revanche, les termes de « polynôme unitaire » ou « monôme dominant » n'ont plus de sens.

Sur un anneau intègre, le degré du produit de deux polynômes non nuls est égal à la somme des degrés de ces deux polynômes, comme dans le cas d'une seule indéterminée.

Si A est un corps commutatif, l'anneau A[X] est euclidien. Cette proposition ne s'étend pas aux anneaux de polynômes en plusieurs indéterminées : l'anneau A[X, Y] n'est même pas principal car dans cet anneau, l'idéal (X, Y) engendré par X et Y n'est pas principal.

Il est alors nécessaire de rechercher des propriétés plus faibles. Dans le cas d'une unique indéterminée, la notion de degré permet d'établir le théorème de la base de Hilbert : si A est noethérien, A[X] l'est aussi. D'après la définition par récurrence de A[X₁, … ,X_n], on en déduit immédiatement :

• L'anneau des polynômes en un nombre fini d'indéterminées, à coefficients dans A, est noethérien dès que A l'est.

Ce résultat ne s'étend pas au cas d'un nombre infini d'indéterminées : dans A[(X_n)_n∈ℕ], la suite des idéaux (X₀, … , X_n) est strictement croissante, et l'anneau ne peut être noethérien.

D'après un résultat fondamental de théorie algébrique des nombres, tout anneau d'entiers algébriques d'un corps de nombres est un ℤ-module de type fini (cf. § « Propriétés noethériennes » de l'article sur les entiers algébriques) et a fortiori, une ℤ-algèbre commutative de type fini, c'est-à-dire un quotient d'un ℤ[X₁, … ,X_n], noethérien. En conséquence :

• Tout anneau d'entiers algébriques d'un corps de nombres est noethérien.

Si un anneau A est factoriel, A[X] l'est encore. La construction par induction de l'anneau des polynômes en un nombre fini ou infini d'indéterminées permet d'en déduire[7] :

• L'anneau des polynômes en plusieurs d'indéterminées, à coefficients dans A, est factoriel si et seulement si A l'est.

Ce transfert de factorialité est un peu différent de celui de noethérianité. Le nombre d'indéterminées n'est pas nécessairement fini. En revanche, la factorialité ne passant pas aux quotients, il existe des corps de nombres (et même des corps quadratiques) dont l'anneau des entiers n'est pas factoriel.

Soit k un corps algébriquement clos. L'ensemble des zéros d'un polynôme f(X₁, … , X_n) à coefficients dans k est l'ensemble des points (x₁, … , x_n) dans kⁿ tels que f(x₁, … , x_n) = 0. Un ensemble algébrique dans kⁿ est l'intersection des zéros d'une famille de polynômes dans k[X₁, … , X_n]. Du fait que l'anneau k[X₁, … , X_n] est noethérien, il suffit toujours de prendre une famille finie de polynômes. Les ensembles algébriques sont à la base de la géométrie algébrique.

Un polynôme homogène de degré d (entier positif ou nul) est une combinaison linéaire de monômes de degré d. Le polynôme nul est ici considéré comme étant de degré d pour tout d. Par exemple, en deux variables, 2X³ + X²Y – 5Y³ est homogène de degré 3, tandis que 2X³ + X²Y³ – 5Y³ n'est pas homogène. Tout polynôme P de degré (total) d est, de façon unique, somme de polynômes homogènes P₀, … , P_d de degrés respectifs 0, … , d. On appelle alors P_i la composante homogène de degré i de P. Dans l'exemple non homogène ci-dessus, la composante homogène de degré 3 est 2X³ – 5Y³, celle de degré 5 est X²Y³ et les autres composantes homogènes sont nulles. Une autre manière d'exprimer la décomposition en composantes homogènes est de dire que A[X₁, … , X_n] est la somme directe des A_d[X₁, … , X_n], où d parcourt les entiers positifs ou nuls et où A_d[X₁, … , X_n] est le sous-A-module des polynômes homogènes de degré d. On note que le produit de deux polynômes homogènes de degrés respectifs d, e est homogène de degré d + e, alors que leur somme n'est homogène que si d = e.

Identité d'Euler

Si P est homogène de degré d, alors${\displaystyle dP=\sum _{1\leq i\leq n}X_{i}{\partial P \over \partial X_{i}}.}$

Un polynôme à n variables est symétrique s'il est invariant par permutation de deux variables quelconques. Par exemple, en trois variables, XY + YZ + ZX est symétrique, alors que X²Y + Y²Z + Z²X ne l'est pas. Contrairement aux polynômes homogènes, les polynômes symétriques sont stables par addition et multiplication, et forment un sous-anneau de l'anneau des polynômes.

Polynômes symétriques élémentaires

Pour i entre 1 et n, le i-ième polynôme symétrique élémentaire S_i est la somme des X_k1…X_ki où les indices parcourent les entiers k₁ < … < k_i entre 1 et n. Par exemple, le premier polynôme symétrique élémentaire est la somme des variables, et le dernier est le produit des variables.

Théorème fondamental sur les polynômes symétriques

Tout polynôme symétrique est, de façon unique, une expression polynomiale des polynômes symétriques élémentaires.

Identités de Newton

Soit d > 0 un entier. Alors P_d := X₁^d + … + X_n^d est symétrique et est appelé le d-ième polynôme de Newton. L'expression de P_d en fonction des polynômes symétriques élémentaires (comme prédit par le théorème ci-dessus) peut être déduite indirectement des identités de Newton :

• P_d – S₁P_d–1 + S₂P_d–2 + … + (–1)^n–1S_n–1P_d–n+1 + (–1)ⁿS_nP_d–n = 0, si d ≥ n et
• P_d – S₁P_d–1 + S₂P_d–2 + … + (–1)^d–1S_d–1P₁ + (–1)^ddS_d = 0, si d < n.

Sur un corps de caractéristique nulle, ces relations permettent d'écrire les polynômes symétriques élémentaires comme des polynômes en les polynômes de Newton. En particulier, sur le corps des nombres rationnels, les polynômes de Newton engendrent l'anneau des polynômes symétriques.

Relations entre coefficients et racines

Soit P(X) = Xⁿ + a₁X^n–1 + … + a_n un polynôme de degré n > 0 à coefficients dans un corps. Soient t₁, … , t_n les racines de P(X) (éventuellement répétées) dans un corps de décomposition de P(X). Alors S_i(t₁, … , t_n) = (–1)ⁱa_i pour tout i entre 1 et n.

Algèbre d'un groupe fini

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chapitres 4 à 7, Dunod, 1981 (ISBN 2225685746)