Lemme de Hensel

En mathématiques, le lemme de Hensel, est un résultat permettant de déduire l'existence d'une racine d'un polynôme à partir de l'existence d'une solution approchée. Il doit son nom au mathématicien du début du XX^e siècle Kurt Hensel. Sa démonstration est analogue à celle de la méthode de Newton.

La notion d'anneau hensélien regroupe les anneaux dans lesquels le lemme de Hensel s'applique. Les exemples les plus usuels sont ℤ_p (l'anneau des entiers p-adiques, pour p un nombre premier) et k[[t]] (l'anneau des séries formelles sur un corps k) ou plus généralement, les anneaux de valuation discrète complets.

Énoncés

On considère un polynôme P à coefficients dans ℤ_p (l'anneau des entiers p-adiques, avec p premier).

Lemme de Hensel version 1.

S'il existe $\alpha _{0}\in \mathbb {Z} _{p}$ tel que $P(\alpha _{0})\equiv 0{\pmod {p}}\quad {\rm {et}}\quad P'(\alpha _{0})\not \equiv 0{\pmod {p}},$ alors, il existe $\alpha \in \mathbb {Z} _{p}$ tel que $P(\alpha )=0\quad {\rm {et}}\quad \alpha \equiv \alpha _{0}{\pmod {p}}.$

Plus généralement, si un anneau noethérien A est complet pour la topologie I-adique pour un certain idéal I et si P est un polynôme à coefficients dans A alors, tout élément α₀ de A tel que, modulo I, P(α₀) soit nul et P'(α₀) soit inversible, se relève de façon unique en une racine de P dans A[1].

La condition $P'(\alpha _{0})\not \equiv 0{\pmod {p}}$ est essentielle. Ainsi, l'équation $X^{5}=2$ n'a pas de solution dans $\mathbb {Z} _{5}$ (une telle solution $a$ devrait être congrue à 2 modulo 5 ; posant $a=2+5x$ , on aurait donc $2=(2+5x)^{5}=32+5\times 16\times 5x+10\times 8\times (5x)^{2}+\dots$ , ce qui est absurde, puisque 30 n'est pas divisible par 25), alors qu'elle en a une dans $\mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$ , puisque $2^{5}-2$ est divisible par 5 ; cela s'explique car $P'(X)$ est identiquement nul dans $\mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$ .

Lemme de Hensel version 2.

S'il existe $\alpha _{0}\in \mathbb {Z} _{p}$ tel que, pour un certain entier $N$ , on ait $P'(\alpha _{0})\equiv 0{\pmod {p^{N}}},\quad P'(\alpha _{0})\not \equiv 0{\pmod {p^{N+1}}}\quad {\rm {et}}\quad P(\alpha _{0})\equiv 0{\pmod {p^{2N+1}}},$ alors, il existe $\alpha \in \mathbb {Z} _{p}$ tel que $P(\alpha )=0\quad {\rm {et}}\quad \alpha \equiv \alpha _{0}{\pmod {p^{N+1}}}.$

Lemme de Hensel version 3.

Soient K un corps valué non archimédien complet, |∙| une valeur absolue sur K associée à sa valuation, O_K son anneau des entiers, $f$ ∈ O_K[X] et $x$ un élément de O_K tel que $c:=\left|{\frac {f(x)}{f'(x)^{2}}}\right|<1.$ Alors :

la suite $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ définie par $x_{0}:=x$ et la formule de récurrence : $x_{n+1}:=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$ est bien définie et vérifie $\vert f(x_{n})\vert \leqslant c^{2^{n}}\vert f'(x_{0})\vert ^{2}\quad {\rm {et}}\quad \vert x_{n+1}-x_{n}\vert \leqslant c^{2^{n}}\vert f'(x_{0})\vert ~;$
elle converge dans O_K vers une racine $ξ$ de $f$ et $\forall n\in \mathbb {N} \quad \vert \xi -x_{n}\vert \leqslant \left|{\frac {f(x)}{f'(x)}}\right|^{2^{n}}~;$
$ξ$ est la seule racine de $f$ dans la boule ouverte de O_K de centre $x$ et de rayon $| f (x)/ f' (x)|$ .

Lemme de Hensel version 4.

Tout anneau local complet est hensélien (en), c'est-à-dire, A désignant cet anneau et k son corps résiduel, que si un polynôme unitaire f ∈ A[X] a pour image dans k[X] un produit de deux polynômes g et h premiers entre eux, alors g et h se relèvent en deux polynômes de A[X] de produit f.

Ce lemme « de Hensel » a été démontré par Theodor Schönemann en 1846.

Applications

Le lemme de Hensel est applicable à une grande variété de situations.

Famille d'idempotents orthogonaux

Soient A un anneau local noethérien, complet pour la topologie M-adique associée à son idéal maximal M, et B une A-algèbre commutative[2], de type fini en tant que A-module. Alors, toute famille d'idempotents « orthogonaux[3] » de B/MB se relève, de façon unique, en une famille d'idempotents orthogonaux de B[1].

En effet, les idempotents sont les racines du polynôme P(X) := X² – X, et si P(e) est nul alors P ' (e) est son propre inverse. Or B est complet (en) pour la topologie MB-adique, ce qui permet, grâce au lemme de Hensel (version 1 ci-dessus) de relever chaque idempotent de B/MB en un idempotent de B. Enfin, si deux idempotents de B sont orthogonaux modulo MB, alors ils le sont dans l'absolu : leur produit x est nul car (par complétude) 1 – x est inversible, or x(1 – x) = 0.

Factorisation des polynômes à coefficients entiers

Les algorithmes de factorisation de polynômes à coefficients entiers en facteurs irréductibles utilisent d’abord une factorisation dans un corps fini $\mathbb {F} _{p}$ qu’il faut ensuite remonter dans l’anneau $\mathbb {Z} /_{p^{2^{k}}\mathbb {Z} }$ pour un certain k de $\mathbb {N}$ . Cette remontée se fait grâce à un cas particulier du lemme de Hensel[4], énoncé ci-dessous :

Soient p un nombre premier, et P un polynôme à coefficients entiers, unitaire, décomposé en un produit $G_{0}H_{0}$ de deux polynômes à coefficients dans $\mathbb {Z} /_{p\mathbb {Z} }$ .

On suppose $G_{0}$ et $H_{0}$ premiers entre eux, de coefficients de Bézout $U_{0},V_{0}$ dans $\mathbb {Z} /_{p\mathbb {Z} }$ .

Alors pour tout $k\in \mathbb {N}$ , il existe un unique quadruplet de polynômes de $\mathbb {Z} /_{p^{2^{k}}\mathbb {Z} },(G_{k},H_{k},U_{k},V_{k})$ tels que :

- $X_{k+1}=X_{k}[p^{2^{k}}]$ pour $X\in \lbrace G_{k},H_{k},U_{k},V_{k}\rbrace$

- $G_{k},H_{k}$ sont premiers entre eux, unitaires,de coefficients de Bézout $U_{k},V_{k}$ dans $\mathbb {Z} /_{p^{2^{k}}\mathbb {Z} }$
- $P=G_{k}H_{k}$

Démonstration

Procédons par récurrence sur $k$ .

L'initialisation est donnée par l'hypothèse.

Pour l'hérédité, on suppose l'existence de $(G_{k},H_{k},U_{k},V_{k})$ pour un certain rang $k\geqslant 0$ . On cherche à construire $(G_{k+1},H_{k+1})$ .

On a, par hypothèse, que $P=G_{k}H_{k}~[p^{2^{k}}]$ donc il existe $R_{k}\in \mathbb {Z} /_{p^{2^{k}}\mathbb {Z} }[X]$ tel que $P-G_{k}H_{k}=p^{2^{k}}R_{k}~[p^{2^{k+1}}]$ .

On appelle alors $h_{k}$ et $g_{k}$ les restes respectifs de la division euclidienne de $U_{k}R_{k}$ par $H_{k}$ et de $V_{k}R_{k}$ par $G_{k}$ .

On pose $\left\lbrace {\begin{array}{c c}G_{k+1}=&G_{k}+p^{2^{k}}g_{k}\\H_{k+1}=&H_{k}+p^{2^{k}}h_{k}\\\end{array}}\right.$

Vérifions que cela convient :

Par construction, $\left\lbrace {\begin{array}{c c}G_{k+1}=&G_{k}[p^{2^{k}}]\\H_{k+1}=&H_{k}[p^{2^{k}}]\\\end{array}}\right.$

Les coefficients dominants de $G_{k+1}$ et $H_{k+1}$ sont ceux de $G_{k}$ et $H_{k}$ car $g_{k}$ et $h_{k}$ résultent d'une division euclidienne. Donc $G_{k+1}$ et $H_{k+1}$ sont unitaires et on vérifie par un simple calcul que $P=G_{k+1}H_{k+1}~[p^{2^{k+1}}]$ .

Montrons enfin, en exhibant des coefficients de Bézout, que $G_{k+1}$ et $H_{k+1}$ sont premiers entre eux.

On pose $\left\lbrace {\begin{array}{c c}U_{k+1}=&2U_{k}-G_{k+1}U_{k}^{2}~mod~H_{k+1}\\V_{k+1}=&2V_{k}-H_{k+1}V_{k}^{2}~mod~G_{k+1}\\\end{array}}\right.$

On a : $U_{k+1}G_{k+1}=1-(U_{k}G_{k+1}-1)^{2}~mod~H_{k+1}$ .

Et $(U_{k}G_{k+1}-1)^{2}=(U_{k}p^{2^{k}}g_{k}-H_{k}V_{k})^{2}~modH_{k+1}=(U_{k}p^{2^{k}}g_{k}-(H_{k+1}-p^{k}h_{k})V_{k})^{2}~modH_{k+1}=0$ , ce qui achève la preuve.

L'algorithme suivant permet de construire les polynômes $G_{k},H_{k},U_{k},$ et $V_{k}$ du lemme.

Entrée : p un nombre premier, k un entier,  $P,G,H,U,V$  des polynômes avec  $P=GH~[p]$  et  $GU+HV=1~[p]$  
Sortie :  $G,H,U,V$  tels que  $P=GH~[p^{2^{k}}]$  et  $GU+HV=1~[p^{2^{k}}]$ 
Pour i = 1 à k-1
   $R\leftarrow {\dfrac {P-GH}{p^{i}}}$ 
   $G\leftarrow H+p^{i}$ *Div_Euclide $(UR,H)$ 
   $H\leftarrow G+p^{i}$ *Div_Euclide $(VR,G)$ 
   $U\leftarrow$ Div_Euclide $(2U-U^{2}G,H)$ 
   $V\leftarrow$ Div_Euclide $(2V-V^{2}H,G)$ 
retourne  $(G,H,U,V)$

Notes et références

(en) Akhil Mathew, « Completions », sur CRing project.
(en) David Eisenbud, Commutative Algebra : with a View Toward Algebraic Geometry, Springer, coll. « GTM » (n^o 150), 1995, 785 p. (ISBN 978-0-387-94269-8, lire en ligne), p. 189-190 signale que l'hypothèse « local » n'est pas nécessaire (l'énoncé vaut alors pour tout idéal M de A), et étend la preuve d'existence (sans unicité) au cas où A n'est pas commutative, mais seulement pour une famille au plus dénombrable.
C'est-à-dire dont les produits deux à deux sont nuls.
Abuaf Roland et Boyer Ivan, « Factorisation dans $\mathbb {Z} [X]$ », Exposé de maîtrise proposé par François Loeser,‎ 20 juin 2007 (lire en ligne)

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