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Anneau artinien

En algèbre commutative, un anneau artinien est un anneau vérifiant la condition de chaîne descendante pour ses idéaux. Les anneaux artiniens doivent leur nom au mathématicien autrichien Emil Artin.

DĂ©finition

On dit qu'un anneau commutatif (unitaire) A est un anneau artinien si c'est un A-module artinien, autrement dit, si toute suite décroissante d'idéaux de A est stationnaire. Cela équivaut à dire que tout ensemble non vide d'idéaux de A admet un élément minimal (pour la relation d'inclusion).

Pour un anneau (unitaire) non commutatif, on définit de même les notions d'artinien à gauche et artinien à droite (relatives aux idéaux à gauche et à droite). Si l'anneau est simple, c'est-à-dire s'il est non nul et n'admet pas d'autres idéaux bilatères que {0} et lui-même, les notions d'artinien à gauche et d'artinien à droite coïncident[1].

Exemples

Propriétés

  • CaractĂ©risation :
    • Un anneau commutatif est artinien si[10] — et seulement si, d'après ce qui prĂ©cède — il est noethĂ©rien et de dimension de Krull nulle ;
    • Soit A un anneau local noethĂ©rien, d'idĂ©al maximal M. Alors A est artinien si et seulement si Mn = 0 pour un entier n strictement positif.

Notes et références

(en) M. F. Atiyah et I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969, chap. 8

  1. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitre 8, § 7, proposition 1, (ii), p. VIII.115 ; définition 1, p. VIII.116 et corollaire 1, b, p. VIII.117. Noter que dans Bourbaki, un anneau simple est défini autrement que dans le présent article.
  2. Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques [détail des éditions], Algèbre, Chapitre 8, p. VIII.5.
  3. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitre 8, p. VIII.7.
  4. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitre 8, Paris, 1981, rééd. 2012, partiellement consultable sur Google Livres et sur le site des éditions Springer, p. VIII.5-6.
  5. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitre 8, p. VIII.8.
  6. (en) R. Y. Sharp, Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press, (lire en ligne), p. 163, Lemma 8.39.
  7. (en) David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer, coll. « GTM » (no 150), (1re éd. 1995) (lire en ligne), p. 76 (dans cet ouvrage — cf. p. 11 — tous les anneaux sont supposés commutatifs).
  8. Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], Dunod, 2004, p. 456, exercice 10.9.
  9. (en) Robert B. Ash, A Course In Commutative Algebra (lire en ligne), « Primary Decomposition and Associated Primes », p. 12-13, propositions 1.6.5 et 1.6.7.
  10. Sharp 2000, p. 163, Prop. 8.38 (ii).

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Anneau semi-parfait (en)

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