Anneau artinien

On dit qu'un anneau commutatif (unitaire) A est un anneau artinien si c'est un A-module artinien, autrement dit, si toute suite décroissante d'idéaux de A est stationnaire. Cela équivaut à dire que tout ensemble non vide d'idéaux de A admet un élément minimal (pour la relation d'inclusion).

Pour un anneau (unitaire) non commutatif, on définit de même les notions d'artinien à gauche et artinien à droite (relatives aux idéaux à gauche et à droite). Si l'anneau est simple, c'est-à-dire s'il est non nul et n'admet pas d'autres idéaux bilatères que {0} et lui-même, les notions d'artinien à gauche et d'artinien à droite coïncident[1].

• Tout anneau fini est artinien.
• Tout corps est artinien.
• L'anneau des entiers n'est pas artinien :${\displaystyle \mathbb {Z} \supsetneq 2\mathbb {Z} \supsetneq 2^{2}\mathbb {Z} \supsetneq 2^{3}\mathbb {Z} \supsetneq \cdots .}$De même et plus généralement, un anneau intègre qui n'est pas un corps ne peut pas être artinien[2].
• Soient A un anneau noethérien et M un idéal maximal de A. Alors A/Mⁿ, où n est un entier strictement positif, est un anneau artinien. En effet, il est de longueur finie en tant que A-module.
• Si k est un corps, les anneaux quotients k[T]/(Tⁿ) sont artiniens. C'est un cas particulier de l'exemple précédent. Ces anneaux sont à la base de la théorie des déformations en géométrie algébrique. Plus généralement, les k-algèbres de dimension finie sont des anneaux artiniens, puisque ce sont des k-modules artiniens et que leurs idéaux sont des k-sous-modules.
• Si A est un anneau noethérien et si P est un idéal premier minimal (i.e. ne contenant aucun autre idéal premier), alors le localisé A_P est un anneau artinien. En géométrie algébrique, un anneau artinien apparait comme l'anneau local d'un schéma noethérien en un point générique.

• Sur un anneau artinien (à gauche), tout module (à gauche) artinien ou de type fini est de longueur finie[3], autrement dit à la fois artinien et noethérien.
• En particulier, tout anneau artinien à gauche est noethérien à gauche[4].
• La classe des anneaux artiniens est stable par quotient et produit direct fini[3].
• Tout anneau commutatif artinien est de dimension de Krull nulle, c'est-à-dire que ses idéaux premiers sont maximaux[5] - [6].
• Tout anneau commutatif artinien est le produit direct d'un nombre fini d'anneaux locaux[7]. Autrement dit : un tel anneau n'a qu'un nombre fini d'idéaux maximaux et il est isomorphe au produit direct des localisés correspondants[8] - [9] (ces facteurs sont encore artiniens, à double titre : comme localisés ou comme quotients).

• Caractérisation :
  • Un anneau commutatif est artinien si[10] — et seulement si, d'après ce qui précède — il est noethérien et de dimension de Krull nulle ;
  • Soit A un anneau local noethérien, d'idéal maximal M. Alors A est artinien si et seulement si Mⁿ = 0 pour un entier n strictement positif.

(en) M. F. Atiyah et I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969, chap. 8

Anneau semi-parfait (en)