Anneau simple

Soit D un corps (commutatif ou non). Pour tout entier naturel non nul n, l'anneau M_n(D) des matrices carrées à coefficients dans D est un anneau simple artinien. Plus intrinsèquement, pour tout espace vectoriel E de dimension finie non nulle sur D, l'anneau End_D(E) des endomorphismes de E est un anneau simple artinien. La réciproque est vraie :

Théorème de Wedderburn. Soit A un anneau. Il est équivalent de dire que :

• l'anneau A est simple et artinien ;
• l'anneau A est simple et semi-simple ;
• il existe un entier n > 0 et un corps D tel que A est isomorphe à l'anneau M_n(D) des matrices carrées à coefficients dans D ;
• A est isomorphe à l'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie non nulle sur un corps.

Soient D et D' des corps, n et n' des entiers > 1. Pour que les anneaux M_n(D) et M_n' (D' ) soient isomorphes, il faut et il suffit que n = n' et que les corps D et D' soient isomorphes. Soit E et E' des espaces vectoriels de dimensions finies non nulles sur D et D' . Pour que les anneaux End_D(E) et End_D' (E' ) soient isomorphes, il faut et il suffit que les corps D et D' soient isomorphes et que les dimensions de E et E' soient égales.

Donc, les anneaux simples artiniens axiomatisent les anneaux des matrices à coefficients dans des corps, et les anneaux des endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension finie.

Soit E un espace vectoriel de dimension infinie sur un corps. Alors l'anneau End(E) n'est ni simple, ni artinien (ni même noethérien) : l'idéal bilatère des endomorphismes de E de rang fini n'est pas de type fini (ni à gauche, ni à droite).

Soit A un anneau simple artinien. Alors le centre de A est un corps commutatif K, et si, en considérant A comme un K-espace vectoriel, A est de dimension finie sur K, alors A est une algèbre centrale simple sur K.

Pour tout anneau simple artinien A, les A-modules simples sont deux à deux isomorphes. En fait, pour qu'un anneau semi-simple soit simple (et donc artinien), il faut et il suffit que ses modules simples soient deux à deux isomorphes.

Soient E un espace vectoriel de dimension finie non nulle n sur D. Alors l'anneau End_D(E) est simple et artinien et de plus, pour la loi externe (f, x) ${\displaystyle \mapsto }$ f(x) de End_D(E) sur E, E est un End_D(E)-module simple, dont la longueur est n.

Réciproquement, soit A un anneau simple artinien et r la longueur du A-module A (qui est finie). Alors, les A-modules simples sont deux à deux isomorphes, et soit M un tel A-module. Alors l'anneau des endomorphisme de A-module de M est un corps D, et en considérant la loi externe (f, x) ${\displaystyle \mapsto }$ f(x) de D = End_A(M) sur M, M est un espace vectoriel de dimension finie r sur D.

• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chapitre 8
• (en) Nathan Jacobson, Basic Algebra II : Second Edition, Dover, 2012 (1^re éd. 1989), 704 p. (ISBN 978-0-486-13521-2, présentation en ligne)
• (en) Max-Albert Knus (de), Alexander Merkurjev, Markus Rost et Jean-Pierre Tignol, The Book of Involution, AMS, 1998