Théorème de Skolem-Noether

Dans sa formulation générale, soient A et B des anneaux simples et soit k le centre de B. Remarquons que k est un corps puisque, pour x élément non nul de k, la simplicité de B entraîne que l'idéal bilatère Bx, qui n'est pas réduit à {0}, est B tout entier, si bien que x est une unité. Supposons de plus que la dimension de B sur k est finie, c'est-à-dire que B est une algèbre centrale simple. Alors, étant donné deux morphismes de k-algèbres

f, g : A → B,

il existe une unité b dans B telle que pour tout a dans A[1] - [2]

g(a) = b · f(a) · b⁻¹.

En particulier, tout automorphisme d'une k-algèbre centrale simple est intérieur[3] - [4].

Supposons d'abord que ${\displaystyle B=\operatorname {M} _{n}(k)=\operatorname {End} _{k}(k^{n})}$. Alors, f et g définissent des actions de A sur ${\displaystyle k^{n}}$ ; soit ${\displaystyle V_{f},V_{g}}$ les A-modules ainsi obtenus. Puisqu'ils ont la même dimension, il existe un isomorphisme d'espaces vectoriels ${\displaystyle b:V_{g}\to V_{f}}$. Mais un tel b est nécessairement un élément de ${\displaystyle \operatorname {M} _{n}(k)=B}$. Pour le cas général, remarquons que ${\displaystyle B\otimes B^{\text{op}}}$ est une algèbre de matrices et donc, par la première partie de la preuve, cette algèbre contient un élément b tel que

${\displaystyle (f\otimes 1)(a\otimes z)=b(g\otimes 1)(a\otimes z)b^{-1}}$

pour tous ${\displaystyle a\in A}$ et ${\displaystyle z\in B^{\text{op}}}$. En prenant ${\displaystyle a=1}$, on trouve

${\displaystyle 1\otimes z=b(1\otimes z)b^{-1}}$

pour tout z. En d'autres termes, b appartient à ${\displaystyle Z_{B\otimes B^{\text{op}}}(k\otimes B^{\text{op}})=B\otimes k}$ et l'on peut donc écrire ${\displaystyle b=b'\otimes 1}$. En prenant cette fois ${\displaystyle z=1}$, on trouve

${\displaystyle f(a)=b'g(a){b'^{-1}}}$,

comme on le souhaitait.

• (en) Thoralf Skolem, « Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme », Skrifter Oslo, n^o 12,‎ 1927, p. 50 (JFM 54.0154.02)
• Présentation du théorème dans (en) James Milne, Class Field Theory (lire en ligne)
• (en) Philippe Gille et Tamás Szamuely, Central simple algebras and Galois cohomology, Cambridge, CUP, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (n^o 101), 2006, 343 p. (ISBN 0-521-86103-9, zbMATH 1137.12001)
• (en) Falko Lorenz, Algebra, vol. 2 : Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics, New York, Springer, 2008, 336 p. (ISBN 978-0-387-72487-4, zbMATH 1130.12001, lire en ligne)