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Théorème de Lindemann-Weierstrass

En mathématiques, le théorème de Lindemann-Weierstrass établit que si des nombres algébriques α1, … , αn sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres rationnels, alors leurs exponentielles eα1, … , eαn sont algébriquement indépendantes sur Q. En d'autres termes, l'extension Q(eα1, … , eαn) de Q est transcendante de degré n.

Une formulation équivalente du théorème est la suivante[1] : si α0, … , αn sont des nombres algébriques distincts alors eα0, … , eαn sont linéairement indépendants sur le corps Q des nombres algébriques, c'est-à-dire : pour tous nombres algébriques ai non tous nuls.

En 1882, ce théorème fut annoncé par Ferdinand von Lindemann à la fin de son article sur le cas particulier n = 1, et fut aussitôt démontré par Karl Weierstrass, qui diffusa son manuscrit mais différa jusqu'en 1885 sa publication[2] - [3].

Le cas n = 1

En 1882, Lindemann avait esquissé[2] la preuve du fait que pour tout nombre algébrique a non nul, le nombre ea est transcendant (ce qui redémontrait que e est transcendant et prouvait que π l'est aussi). C'est le cas n = 1 du théorème démontré par Weierstrass.

En effet (avec la première formulation),

  • a est non nul équivaut à : l'ensemble {a} est linéairement libre sur Q, et
  • ea est transcendant équivaut à : l'ensemble {ea} est algébriquement libre sur Q

En utilisant la seconde formulation, on peut le réécrire :

  • a est non nul équivaut à : 0 et a sont distincts, et
  • ea est transcendant équivaut à : e0 et ea sont linéairement indépendants sur Q.

Conjecture p-adique

L'analogue p-adique du théorème de Lindemann-Weierstrass est la conjecture suivante : « soient [p un nombre premier et] β1, … , βn des nombres p-adiques algébriques [Q-linéairement indépendants et] appartenant au domaine de convergence de l'exponentielle p-adique expp. Alors les n nombres expp1), … , exppn) sont algébriquement indépendants sur Q[4]. »

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lindemann–Weierstrass theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Alan Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, (1re éd. 1975) (ISBN 9780521397919, lire en ligne), chap. 1, Theorem 1.4.
  2. (en) David E. Rowe, « Historical events in the background of Hilbert's seventh Paris problem », dans David E. Rowe et Wann-Sheng Horng, A Delicate Balance: Global Perspectives on Innovation and Tradition in the History of Mathematics, Birkhäuser, , p. 211-244.
  3. (de) K. W. Weierstrass, « Zu Lindemann's Abhandlung: "Über die Ludolph'sche Zahl" », Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., vol. 5, , p. 1067-1085 (DOI 10.1007/978-1-4757-4217-6_23).
  4. (en) Michel Waldschmidt, « Open Diophantine Problems », Moscow Mathematical Journal, vol. 4, no 1, , p. 245-305 (lire en ligne), Conjecture 3.11.

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

(en) « Proof of Lindemann-Weierstrass theorem and that e and π are transcendental » (démonstration tirée de Baker 1990 et détaillée), sur le site PlanetMath.

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