Exponentielle complexe

L'exponentielle complexe est une fonction qui prolonge la fonction exponentielle réelle de base e à la variable complexe et possède les mêmes propriétés essentielles que cette dernière.

Pour tout nombre complexe z, la série entière

\sum _{n\geqslant 0}{z^{n} \over n!}

est convergente. Sa somme est l'exponentielle de $z$ , notée $e z$ ou $exp(z)$ .

Propriétés

On peut proposer une définition de Pi s'appuyant sur l'exponentielle complexe[1].

Le module et l'argument de $e x + i y$ (pour $x$ et $y$ réels) sont respectivement $e x$ et $y mod 2π$ .

Les développements limités (ou développements en série des fonctions) de l'exponentielle, du cosinus et du sinus permettent de trouver que :

\forall y\in \mathbb {R} ,\ \exp(\mathrm {i} y)=\cos(y)+\mathrm {i} \,\sin(y)

dont on peut déduire :

\forall z=x+\mathrm {i} y\in \mathbb {C} ,\ \exp(z)=\exp(x+\mathrm {i} y)=\exp(x)\exp(\mathrm {i} y)=\exp(x)[\cos(y)+\mathrm {i} \,\sin(y)]

Références

Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes, Paris, Hermann (éditions), 1961, p. 31

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Exponential Function », sur MathWorld

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