Complétion du carré

L'idée générale de cette technique consiste, partant d'une équation de la forme A+B=C, à la mettre sous la forme A+B+D=C+D, où D est choisi pour que A+B+D soit le développement d'une identité remarquable telle que ${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}$ (une variante de ce procédé consiste à  « ajouter 0 », c'est-à-dire à écrire A+B sous la forme A+B+D-D).  Ainsi, lorsqu'on a une équation de la forme ${\displaystyle x^{2}+bx+c=0}$ on ajoute ${\displaystyle \left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c}$ de chaque côté de l'équation pour faire apparaître ${\displaystyle x^{2}+bx+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}$, ce qui donne

${\displaystyle x^{2}+bx+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c}$,

d'où ${\displaystyle \left[x+\left({\frac {b}{2}}\right)\right]^{2}=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c}$

et donc ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-c}}}$ (en supposant que le radicande soit positif).

Exemple

Soit ${\displaystyle x^{2}-6x+5=0}$ l'équation à résoudre. On ajoute ${\displaystyle (-6/2)^{2}-5=9-5}$ de chaque côté.

On obtient ${\displaystyle x^{2}-6x+5+9-5=9-5}$,

qui se simplifie en ${\displaystyle x^{2}-6x+9=4}$,

puis en ${\displaystyle (x-3)^{2}=4}$

et enfin ${\displaystyle x-3=\pm {\sqrt {4}}=\pm 2}$.

D'où les solutions de l'équation, ${\displaystyle x_{1}=1}$ et ${\displaystyle x_{2}=5}$.

On peut appliquer cette méthode à une équation de la forme ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$, où ${\displaystyle a\neq 0.}$

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0,}$ car ${\displaystyle a\neq 0.}$

En appliquant à cette équation la méthode ci-dessus, on obtient la forme canonique

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a{\biggl (}(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}{\biggr )}=0}$ ;

on retrouve alors la formule de Viète (en supposant le radicande positif) :

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}},}$

ou sous une forme plus habituelle, avec le discriminant du polynôme :

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ ; ${\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$.

Si le discriminant est positif, on obtient la factorisation canonique :

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}).}$

La même idée peut s’appliquer à d’autres expressions algébriques ; elle permet par exemple de transformer une équation cartésienne comme ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+2x-4y=4}$ en ${\displaystyle x^{2}+2x+1+y^{2}-4y+4=9,}$ ou encore ${\displaystyle (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=9}$ ; on reconnait alors l'équation d'un cercle de centre (-1, 2) et de rayon 3.

On peut également obtenir de même l’identité de Sophie Germain :

${\displaystyle x^{4}+4y^{4}=(x^{4}+4x^{2}y^{2}+4y^{4})-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-(2xy)^{2}=(x^{2}-2xy+2y^{2})(x^{2}+2xy+2y^{2}).}$

La complétion du carré est également utile pour le calcul de certaines intégrales. Ainsi, pour une intégrale de la forme

${\displaystyle I=\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+bx+c}}}$, réécrite ${\displaystyle I=\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+bx+b^{2}/4-b^{2}/4+c}}=\int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+b/2)^{2}-b^{2}/4+c}}}$,

on peut revenir, en posant ${\displaystyle X=x+b/2}$, à des formes dont on peut calculer les primitives à partir des fonctions usuelles :

${\displaystyle \int {\frac {dX}{X^{2}+k^{2}}}={\frac {1}{k}}\arctan \left({\frac {X}{k}}\right)+C\qquad {\text{ou}}\qquad \int {\frac {dX}{X^{2}-k^{2}}}={\frac {1}{2k}}\ln \left|{\frac {X-k}{X+k}}\right|+C}$.