Corps quadratiquement clos

• Tout corps algébriquement clos est quadratiquement clos.
• La clôture quadratique d'un corps (voir exemples ci-dessous) est — par définition — quadratiquement close.

Pour tout corps F, les propriétés suivantes sont équivalentes :

• F est quadratiquement clos ;
• son u-invariant (en) est égal à 1, c'est-à-dire que toute forme quadratique sur F de dimension > 1 est isotrope ;
• son anneau de Witt-Grothendieck est isomorphe à ℤ par le morphisme dimension[2] ;
• son groupe de Witt est d'ordre 2.

Tout corps quadratiquement clos est à la fois pythagoricien et non formellement réel mais la réciproque est fausse (penser aux corps de caractéristique 2).

Soit E/F une extension finie avec E quadratiquement clos. Alors, ou bien −1 est un carré dans F et F est quadratiquement clos, ou bien −1 n'est pas un carré dans F et F est euclidien (c'est une conséquence du théorème de Diller-Dress)[3].

Pour tout corps F, il existe une « plus petite » extension quadratiquement close de F. Cette extension, qui est donc unique à isomorphisme près, est appelée « la » clôture quadratique de F. On peut la construire comme sous-corps de « la » clôture algébrique F^alg de F, en prenant la réunion de toutes les tours d'extensions quadratiques sur F dans F^alg. Lorsque la caractéristique de F est différente de 2, c'est donc la réunion des 2-extensions finies de F dans F^alg, c'est-à-dire toutes les extensions galoisiennes de degré égal à une puissance de 2[4].

Par exemple :

• la clôture quadratique de tout corps euclidien F est l'extension quadratique F(√−1)[4] (elle est algébriquement close si et seulement si F est réel clos) ;
• la clôture quadratique du corps fini F₅ est — dans sa clôture algébrique qui est la réunion des F_5^m pour tout entier naturel m — la réunion des F_5⁽²ⁿ⁾[4] ;
• la clôture quadratique de ℚ est — dans ℚ — le sous-corps des nombres complexes constructibles[4].