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Corps euclidien

En algÚbre, un corps euclidien est un corps totalement ordonné dans lequel tout élément positif est un carré.

Propriétés

Exemples

Contre-exemples

ClĂŽture euclidienne

Soit K un corps ordonné. Une clÎture euclidienne de K est un corps euclidien contenant K et minimal pour cette propriété[4]. Les clÎtures euclidiennes de K sont les sous-corps de codimension 2 de sa clÎture quadratique K2 et sont isomorphes (en tant que corps ordonnés)[4] - [5] ; ce sont aussi les intersections de K2 avec les clÎtures réelles de K[4], ou encore, les extensions de corps ordonné de K maximales parmi les sous-corps de K2[6].

Pour toute partie non vide M de ℝ, la clĂŽture euclidienne du corps ℚ(M) engendrĂ© par M est l'ensemble des longueurs constructibles Ă  la rĂšgle et au compas Ă  partir de celles appartenant Ă  M. La clĂŽture euclidienne d'un sous-corps K de ℝ est la rĂ©union de tous les corps obtenus Ă  partir de K par une tour d'extensions quadratiques rĂ©elles.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de l’article de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Euclidean field » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) George E. Martin, Geometric Constructions, Springer, coll. « Undergraduate Texts in Mathematics », , 206 p. (ISBN 978-0-387-98276-2), p. 89.
  2. (en) Tsit-Yuen Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (no 67), (ISBN 978-0-8218-7241-3, lire en ligne), p. 270.
  3. Martin 1998, p. 35-36.
  4. Lam 2005, p. 245-246.
  5. (de) Eberhard Becker (de), « Euklidische Körper und euklidische HĂŒllen von Körpern », J. reine angew. Math., vol. 268/269,‎ , p. 41-52 (lire en ligne).
  6. (en) Ido Efrat, Valuations, orderings, and Milnor K-theory, AMS, coll. « Mathematical Surveys and Monographs » (no 124), , 288 p. (ISBN 978-0-8218-4041-2, lire en ligne), p. 177
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