Corps euclidien
En algÚbre, un corps euclidien est un corps totalement ordonné dans lequel tout élément positif est un carré.
Propriétés
- Un corps K est euclidien si et seulement s'il est pythagoricien et s'il existe sur K un unique ordre (total et compatible)[1].
- Si E/F est une extension finie et si le corps E est euclidien, alors F aussi (c'est une conséquence du théorÚme de Diller-Dress)[2].
Exemples
- Un corps K est rĂ©el clos (comme le corps â des rĂ©els, le sous-corps ââ©â des rĂ©els algĂ©briques, ou tout surcorps hyperrĂ©el) si et seulement si K est euclidien et K(ââ1) est algĂ©briquement clos.
- Le « plus petit » corps euclidien est le corps des nombres constructibles[3] : c'est la clĂŽture euclidienne de â.
Contre-exemples
- Aucun corps de nombres n'est euclidien, ni mĂȘme pythagoricien.
- Aucun corps quadratiquement clos (en particulier aucun corps algĂ©briquement clos) n'est euclidien, ni mĂȘme formellement rĂ©el (c'est-Ă -dire pourvu d'un ordre total compatible).
ClĂŽture euclidienne
Soit K un corps ordonné. Une clÎture euclidienne de K est un corps euclidien contenant K et minimal pour cette propriété[4]. Les clÎtures euclidiennes de K sont les sous-corps de codimension 2 de sa clÎture quadratique K2 et sont isomorphes (en tant que corps ordonnés)[4] - [5] ; ce sont aussi les intersections de K2 avec les clÎtures réelles de K[4], ou encore, les extensions de corps ordonné de K maximales parmi les sous-corps de K2[6].
Pour toute partie non vide M de â, la clĂŽture euclidienne du corps â(M) engendrĂ© par M est l'ensemble des longueurs constructibles Ă la rĂšgle et au compas Ă partir de celles appartenant Ă M. La clĂŽture euclidienne d'un sous-corps K de â est la rĂ©union de tous les corps obtenus Ă partir de K par une tour d'extensions quadratiques rĂ©elles.
Notes et références
- (en) George E. Martin, Geometric Constructions, Springer, coll. « Undergraduate Texts in Mathematics », , 206 p. (ISBN 978-0-387-98276-2), p. 89.
- (en) Tsit-Yuen Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (no 67), (ISBN 978-0-8218-7241-3, lire en ligne), p. 270.
- Martin 1998, p. 35-36.
- Lam 2005, p. 245-246.
- (de) Eberhard Becker (de), « Euklidische Körper und euklidische HĂŒllen von Körpern », J. reine angew. Math., vol. 268/269,â , p. 41-52 (lire en ligne).
- (en) Ido Efrat, Valuations, orderings, and Milnor K-theory, AMS, coll. « Mathematical Surveys and Monographs » (no 124), , 288 p. (ISBN 978-0-8218-4041-2, lire en ligne), p. 177