Théorie de Hodge

La théorie de Hodge est l'étude, avec l'apport notamment de la topologie algébrique, des formes différentielles sur une variété lisse. En conséquence elle éclaire l'étude des variétés riemanniennes et kählériennes, ainsi que l'étude géométrique des motifs. Elle tient son nom du mathématicien écossais William Hodge. Un des problèmes du prix du millénaire a trait à cette théorie : la conjecture de Hodge.

Essentiellement, la théorie permet d'associer, à certaines variétés, une structure de Hodge (en) qui se révèle un outil très puissant d'analyse des propriétés de la variété d'origine, tout en étant d'une manipulation éventuellement plus aisée car relevant de l'algèbre linéaire.

La théorie se trouve au cœur de nombreux problèmes mathématiques et apparaît notamment en mathématiques appliquées, en physique mathématique et en physique théorique, dans les théories de jauges en particulier, par exemple l'électromagnétisme.

Histoire

La théorie est posée par Hodge autour de 1941 avec la publication de Harmonic integrals, où ses résultats s'appuient d'abord sur l'analyse. Hermann Weyl, Kunihiko Kodaira, Georges de Rham et André Weil s'approprient et poursuivent l'élaboration de cette approche. Puis, au début des années 1970, Phillip Griffiths et Pierre Deligne lui donnent son aspect moderne, beaucoup plus algébrique.

Théorème de Hodge

L'origine de la théorie de Hodge se trouve dans l'application de la cohomologie de De Rham aux équations aux dérivées partielles.

La conséquence clef se généralise, le théorème de Hodge s'applique : si M est une variété kählerienne projective compacte, alors

H^{r}(M,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=r}H^{p,q}(M)

(on peut considérer ici la cohomologie de De Rham ou de Dolbeault) avec

H^{*}(M,\mathbb {C} )=H^{*}(M,\mathbb {Z} )\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C}

On retrouve les nombres de Betti

b_{i}(M)=\mathrm {dim} _{\mathbb {C} }H^{i}(M,\mathbb {C} )

qui peuvent s'écrire en fonction des nombres de Hodge

b_{i}(X)=\sum _{p+q=i}h^{p,q}(X)

h^{p,q}(X)=\mathrm {dim} _{\mathbb {C} }H^{p,q}(X)

Diamant de Hodge

On représente souvent les nombres de Hodge d'une variété kählerienne compacte M sous la forme suivante, appelée diamant de Hodge :

{\begin{matrix}&&&h^{0,0}&&\\&&h^{1,0}&&h^{0,1}&\\&&&&\ddots &\\&h^{n,0}&&\cdots &&h^{0,n}\\&&\ddots &&&\\&&h^{n,n-1}&&h^{n-1,n}&\\&&&h^{n,n}&&\end{matrix}}

On retrouve les nombres de Betti en sommant chaque ligne.

Théorème de décomposition de Hodge pour les formes différentielles

On peut définir un opérateur laplacien pour les formes différentielles :

\Delta =(\mathrm {d} +\delta )^{2}=\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} .

Les formes différentielles qui appartiennent à son noyau sont dites harmoniques.

Si M est une n-variété différentiable compacte et orientable, et si p est un entier tel que n ≥ p, alors le théorème de décomposition de Hodge stipule que toute p-forme peut s'écrire de manière unique comme la somme d'une forme exacte (ou « transversale »), d'une forme coexacte (ou « longitudinale ») et d'une forme harmonique :

{\begin{matrix}\omega &=&\mathrm {d} \alpha &+&\delta \beta &+&\gamma \\&&{\text{exacte}}&&{\text{coexacte}}&&{\text{harmonique}}\end{matrix}}

Si la p-forme $\omega$ est fermée, on a la décomposition courte de Hodge :

\omega =\mathrm {d} \alpha +\gamma

En général la composante harmonique dépend de la topologie du domaine considéré.

Références

(en) Phillip Griffiths et Joe Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley Interscience, coll. « Wiley Classics Library », 1994 (ISBN 0-471-05059-8)
(en) William Hodge, The Theory and Applications of Harmonic Integrals, Cambridge University Press, 1941, 284 p. (ISBN 978-0-521-35881-1, lire en ligne)

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