Théorie de jauge

Les théories de champs de jauge dans l'espace-temps utilisent la notion d'espace fibré différentiel. Il s'agit encore d'une variété différentielle, mais de dimension plus grande que celle de l'espace-temps, qui joue ici le rôle d'espace de base du fibré.

On considère plus précisément un fibré principal, dont la fibre s'identifie au groupe de structure qui est un groupe de Lie précisant la symétrie de la théorie, appelée « invariance de jauge ».

Un champ de jauge A y apparaît comme une connexion, et la forme de Yang-Mills associée F = dA comme la courbure associée à cette connexion.

• O(n) est le groupe orthogonal sur ℝ d'ordre n, c.-à-d. le groupe multiplicatif des matrices n×n réelles orthogonales (vérifiant ^tMM = I_n).
• SO(n) est le groupe spécial orthogonal sur ℝ d'ordre n, c.-à-d. le groupe multiplicatif des matrices n×n réelles orthogonales et de déterminant égal à 1 (^tMM = I_n et det M = 1).
• U(n) est le groupe unitaire sur ℂ d'ordre n, c.-à-d. le groupe multiplicatif des matrices n×n complexes unitaires (vérifiant M^*M = I_n).
• SU(n) est le groupe spécial unitaire sur ℂ d'ordre n, c.-à-d. le groupe multiplicatif des matrices n×n complexes unitaires et de déterminant égal à 1 (M^*M = I_n et det M = 1).

• O(1) = {1, -1}
• SO(1) = {1}
• U(1) est le cercle unité complexe. Il est égal à ${\displaystyle \exp(\mathrm {i} \mathbb {R} )}$
• SO(2) est isomorphe à U(1) : c'est l'ensemble des rotations (vectorielles) du plan.
• SO(3) est l'ensemble des rotations de l'espace à 3 dimensions.

Dans sa chronique "le monde selon..." du 26/06/2014, diffusée sur France culture à 7h18, le physicien Étienne Klein fait référence à l'invariance de jauge, prenant pour illustration la trajectoire courbe d'un ballon de football lors d'un coup franc.

Bertrand Delamotte, Un soupçon de théorie des groupes : groupe des rotations et groupe de Poincaré, cours d'introduction pour physiciens (prolégomènes à un cours de théorie quantique des champs) donné en 1995 par Bertrand Delamotte (Laboratoire de Physique Théorique et Hautes Énergies, Université Paris 7) au D.E.A. "Champs, Particules, Matières" , 127 pages

• (en) John D. Jackson et L. B. Okun, « Historical roots of gauge invariance », dans Review of Modern Physics 73 (2001), 663-680, texte intégral sur arXiv:hep-ph/0012061
• (en) Lochlainn O'Raifeartaigh, The Dawning of Gauge Theory, Princeton University Press, 1997 (ISBN 0-691-02977-6)
• (en) Tian Yu Cao, Conceptual Developpments of 20th Century Field Theories, Cambridge University Press, 1997 (ISBN 0-521-63420-2)

Michel Le Bellac, Des phénomènes critiques aux champs de jauge - Une introduction aux méthodes et aux applications de la théorie quantique des champs, InterEditions/Éditions du CNRS, 1988 (ISBN 2-86883-359-4), réédité par EDP Sciences

• Andrei Teleman, Introduction à la théorie de jauge, SMF, 2012.
• (en) Theodore Frankel, The Geometry of Physics - An introduction, Cambridge University Press, 1997 (ISBN 0-521-38753-1)
• (en) Mikio Nakahara, Geometry, Topology ans Physics, Institute of Physics Publishing, 1990 (ISBN 0-85274-095-6)
• (en) Charles Nash et Siddharta Sen, Topology & Geometry for Physicists, Academic Press, 1983 (ISBN 0-12-514080-0)
• (en) Yvonne Choquet-Bruhat et Cécile DeWitt-Morette, Analysis, Manifolds & Physics - Part I: Basics, North-Holland/Elsevier (2^e édition révisée - 1982) (ISBN 0-444-86017-7)

Pierre Deligne et al., Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians, AMS, 2000 (ISBN 0-8218-2014-1)