Fibré principal

Soit G un groupe topologique qui agit continûment et librement à droite sur un espace topologique F, et X un espace topologique.

Un fibré M sur X de fibre F et de groupe structural G est la donnée d'un espace topologique M et d'une application continue surjective ${\displaystyle \pi :M\rightarrow X}$, appelée la projection, telle que :

Pour tout point x de X, il existe un voisinage ouvert U_x de x dans X, et un homéomorphisme ${\displaystyle (\pi ,\Phi _{x}):\pi ^{-1}(U_{x})\rightarrow U_{x}\times F}$, appelé trivialisation locale au-dessus de U.

Pour deux points x et y, il existe une application continue ${\displaystyle f_{xy}:U_{x}\cap U_{y}\rightarrow G}$, appelée fonction de transition, telle que, pour tout m dans ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{x}\cap U_{y})}$, on ait :

${\displaystyle \Phi _{y}(m)=\Phi _{x}(m)\cdot f_{xy}(\pi (m))}$

Selon le contexte, la définition peut se vouloir plus restrictive vis-à-vis des structures. En particulier, en géométrie différentielle, on demande que les espaces X et M soient des variétés, le groupe G un groupe de Lie et l'application et l'action différentiables. Mais essentiellement, la définition est la même.

Un fibré de groupe structural G et de fibre F est obtenu de la manière suivante. Considérons une famille (U_i) d'ouverts de X, et des applications ${\displaystyle f_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\rightarrow G}$ vérifiant :

• pour tout i, l'application f_ii est l'identité ;
• pour tous i, j, f_ij⁻¹ = f_ji ;
• pour tous i, j et k, f_ijf_jk = f_ik (condition de cocycle).

Un fibré G-principal est un fibré sur X, de groupe structural G, et de fibre G, où l'action de G sur G est l'application de multiplication à droite. De manière équivalente, un fibré G-principal est un espace topologique M sur lequel agit continument et librement à droite le groupe topologique G, de base le quotient X = M/G. Cette caractérisation est valable en géométrie différentielle sous l'hypothèse que le quotient soit une variété.

La classification des fibrés principaux de groupe structural GL_nℝ sur X équivaut à la classification des fibrés vectoriels réels de rang n sur X.

Applications :

• En topologie algébrique, le fibré des repères joue un rôle central, en particulier, pour ce qui en est des classes caractéristiques.
• En géométrie différentielle, s'il est courant de manipuler les connexions de Koszul, disposer d'une formulation géométrique est agréable. Les connexions d'Ehresmann s'effectuent dans le fibré des repères.