Opérateur trace

Soit Ω un ouvert borné de l'espace euclidien ℝⁿ avec une frontière de classe C¹[1] ∂Ω. Si u est une fonction C¹ (ou simplement continue) sur l'adhérence Ω de Ω, sa restriction est bien définie et continue sur ∂Ω. Si de plus u est la solution d'une équation aux dérivées partielles donnée, elle est en général une formulation faible, qui appartient donc à un certain espace de Sobolev. Les fonctions d'un tel espace ne sont généralement pas continues et sont définies seulement sur Ω (et même seulement à égalité près presque partout), donc leur restriction à ∂Ω n'a aucun sens. Il vient que la restriction simple d'une fonction ne peut pas être utilisée pour définir clairement une solution générale d'une équation aux dérivées partielles avec des conditions aux limites de Ω données.

On peut contourner cette difficulté en considérant que tout élément u d'un espace de Sobolev peut être mal défini en tant que fonction, mais peut toutefois être approché par une suite (u_n) de fonctions de classe C¹ définies sur l'adhérence de Ω. Alors, la restriction u_|∂Ω de u sur ∂Ω est définie comme la limite de la suite des restrictions u_n|∂Ω.

Afin de définir rigoureusement la notion de restriction d'une fonction dans un espace de Sobolev, soit un réel p ≥ 1. Considérons l'opérateur linéaire

${\displaystyle T:C^{1}({\bar {\Omega }})\to {\rm {L^{p}}}(\partial \Omega )}$

défini sur l'ensemble des fonctions de classe C¹ sur Ω à valeurs dans l'espace L^p(∂Ω), vérifiant

${\displaystyle Tu=u_{|\partial \Omega }.}$

Le domaine de T est un sous-ensemble de l'espace de Sobolev W^1,p(Ω).

Il existe une constante C, dépendant uniquement de Ω et p, telle que

${\displaystyle \forall u\in C^{1}({\bar {\Omega }})\quad \|Tu\|_{{\rm {L^{p}}}(\partial \Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}.}$

Alors, comme les fonctions C¹ sur Ω sont denses dans W^1,p(Ω), l'opérateur T admet un unique prolongement continu (donc, lui aussi, linéaire)

${\displaystyle T:W^{1,p}(\Omega )\to {\rm {L^{p}}}(\partial \Omega )}$

défini sur l'espace entier W^1,p(Ω). T est appelé opérateur trace. La restriction (ou trace) u_|∂Ω d'une fonction u de W^1,p(Ω) est alors donnée par Tu.

Puisque ce prolongement T est séquentiellement continu, pour toute suite (u_n) de fonctions de classe C¹ sur Ω qui converge dans W^1,p(Ω) vers u, la suite (u_n|∂Ω) converge dans L^p(∂Ω) vers Tu.

Considérons la résolution de l'équation de Poisson avec des conditions aux limites de Dirichlet :

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta u=f{\text{ sur }}\Omega \\u_{|\partial \Omega }=0.\end{cases}}}$

Ici, ${\displaystyle f}$ est une fonction continue donnée sur Ω.

Grâce au concept de trace, on définit, dans l'espace de Sobolev H¹(Ω) := W^1,2(Ω), le sous-espace H¹
₀(Ω) des fonctions de trace nulle. Alors l'équation admet la formulation faible suivante :

Trouver ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ telle que

${\displaystyle \int _{\Omega }\!\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx=\int _{\Omega }\!f(x)v(x)\,dx}$ pour tout ${\displaystyle v}$ dans H¹
₀(Ω).

Par le théorème de Lax-Milgram, on peut démontrer que ce problème admet une unique solution, et donc que l'équation de Poisson a une solution faible unique.

Un raisonnement similaire peut être utilisé pour prouver l'existence et l'unicité de solutions dans le cas d'autres équations aux dérivées partielles avec des conditions aux limites différentes, telles les conditions de Neumann ou de Robin, la notion de trace étant importante dans ces cas.

• Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
• (en) Lawrence C. Evans, Partial differential equations, Providence, R.I., AMS, 2010, 2^e éd. (1^re éd. 1998), 749 p. (ISBN 978-0-8218-4974-3, lire en ligne), p. 174

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Trace operator » (voir la liste des auteurs).